משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 < x < 3 — (x−2)(x−3) < 0 — הכפל שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
2. k < 4, k ≠ 0 — לשני פתרונות שונים דרוש Δ > 0: (−4)²−4k·1>0. 16−4k>0. k<4. גם k≠0 (אחרת לא ריבועית).
3. x = 3 או x = −3 — x² = 9 → x = ±3.
4. −10 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = −10/1 = −10.
5. x = 5/3 או x = −5/3 — 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5) = 0. x = 5/3 או x = −5/3.
6. k > 4 — הדיסקרימיננט: Δ = 16 − 4k < 0 → k > 4. כאשר k > 4 אין פתרון ממשי.
7. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
8. x = 3/2 או x = −3/2 — 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) = 0. 2x = 3 → x = 3/2 או 2x = −3 → x = −3/2.
9. אין פתרונות ממשיים — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
10. −1 < k < 2 — Δ = 4k²−4(k+2) < 0 → k²−k−2 < 0 → (k−2)(k+1) < 0 → −1 < k < 2.
11. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).
12. x = 2 או x = 5 — (x − 2)(x − 5) = 0 → x = 2 או x = 5.
13. −4 < x < 2 — x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). שורשים: −4 ו־2. הפרבולה שלילית בין השורשים: −4 < x < 2.
14. x = 3 או x = −5 — x+1 = ±4 ⟹ x = 3 או x = −5.
15. −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3 — x² ≤ 9 → −3 ≤ x ≤ 3. x² ≥ 1 → x ≤ −1 או x ≥ 1. החיתוך: −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3.
16. x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה פתוחה כלפי מעלה. f > 0 מחוץ לשורשים.
17. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
18. x = 6 — 45x + 300 = 570 → 45x = 270 → x = 6.
19. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0, (x−2)(x−3) = 0, x = 2 או x = 3.
20. x ≤ −½ או x ≥ 3 — שורשים של 2x² − 5x − 3 = 0: x = 3 ו-x = −½. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.