משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
2. (3x − 1)(3x + 1) — 9x² − 1 = (3x)² − 1². הפרש ריבועים: (3x − 1)(3x + 1).
3. 5 ו-7 — x+y=12, x²+y²=74. x²+(12−x)²=74 → 2x²−24x+70=0 → x²−12x+35=0 → x=5 או x=7.
4. x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
5. 16 ; 4 — (x + 4)² = x² + 8x + 16. החסר: 16, בתוך הסוגריים: 4.
6. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
7. −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3 — x² ≤ 9 → −3 ≤ x ≤ 3. x² ≥ 1 → x ≤ −1 או x ≥ 1. החיתוך: −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3.
8. x=0.5 או x=−3 — משוואה ריבועית: a=2, b=5, c=−3. דיסקרימיננט = 25+24=49. x=(−5±7)/4. x₁=2/4=0.5, x₂=−12/4=−3.
9. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
10. x = 6 או x = 4 — (x − 5)² = 1, x − 5 = ±1, x = 6 או x = 4.
11. x = 2 או x = −2 — 2x² = 8, x² = 4, x = ±2.
12. 3 < x < 4 — x² − 4x < 0 → 0 < x < 4. x² − 2x − 3 > 0 → x < −1 או x > 3. חיתוך: 3 < x < 4.
13. x = 5 או x = −5 — x² = 25 גורר x = ±√25 = ±5.
14. x = 2/3 או x = −1 — Δ = 1 + 24 = 25. x = (−1 ± 5)/6. x₁ = 4/6 = 2/3, x₂ = −6/6 = −1.
15. x = 2 או x = 0.5 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 8/4 = 2, x₂ = 2/4 = 0.5.
16. x = 2 או x = 1/2 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 2, x₂ = 1/2.
17. x = 2 — (x − 2)² = 0 רק כאשר x − 2 = 0, לכן x = 2 (שורש כפול).
18. x = 3 או x = 1/2 — (2x − 1)(x − 3) = 0. לכן x = 1/2 או x = 3.
19. (2, 4) ו־(−2, 4) — x² = 4, x = ±2. נקודות חיתוך: (2,4) ו(−2,4).
20. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).