משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

20 תרגילי משוואה ריבועית: נוסחת השורשים, דיסקרימיננטה, פירוק לגורמים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

תרגול מקיף במשוואות ריבועיות לתלמידי כיתה ט' ולמתחילים בתיכון (4 ו-5 יחידות). כולל פתרון בשלוש שיטות: נוסחת השורשים, פירוק לגורמים, וחילוץ x משותף. התרגילים כוללים את כל שלושת מקרי הדיסקרימיננטה (שני פתרונות, פתרון כפול, אין פתרון). 20 תרגילים עם תשובות נכונות והסבר כשקיים.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 20 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מגדל המשוואות. הדף מותאם לתלמידי כיתה ט׳ ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-20 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-20 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

𝑥 אלגברה ומשוואות — תרגול לכיתה ז' · 25 שאלות · ~35 דק'
🎓 סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז' · 50 שאלות · ~75 דק'
🔗 מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'

1.תאגיד מרוויח P(x) = −2x² + 80x − 300 אלפי ש״ח כאשר x הוא מחיר המוצר בש״ח. מה המחיר שימקסם את הרווח?
(א)20 ש״ח✓
(ב)40 ש״ח
(ג)80 ש״ח
(ד)10 ש״ח
2.אי-שוויון: x² − 4 < 0. מה הפתרון?
(א)x > 2
(ב)x > 2 או x < −2
(ג)−2 < x < 2✓
(ד)x < −2
3.פתרו בהשלמה לריבוע: x² − 8x + 7 = 0.
(א)x = 8 או x = 0
(ב)x = 4 ± √9
(ג)x = 4 ± 3
(ד)x = 7 או x = 1✓
4.השלימו לריבוע: x² + 6x + ___ = (x + ___)².
(א)9; 3✓
(ב)36; 6
(ג)6; 6
(ד)3; 3
5.פתרו את המשוואה הריבועית: x² − 9 = 0
(א)x = 3
(ב)x = 3 או x = −3✓
(ג)x = 9 או x = −9
(ד)x = 0
6.עבור אילו ערכי k המשוואה kx² + 6x + k = 0 תהיה לה שני פתרונות ממשיים שונים?
(א)k < 0
(ב)k > 3
(ג)−3 < k < 3 וגם k ≠ 0✓
(ד)k = 3
7.מהו הדיסקרימיננטה (Δ) של x² − 4x + 4 = 0?
(א)−16
(ב)8
(ג)16
(ד)0✓
8.שטח הגדר: חצר מלבנית שאורכה פי שניים מרוחבה. שטח מינימלי 800 מ״ר. מה הרוחב המינימלי?
(א)20 מ׳✓
(ב)10 מ׳
(ג)40 מ׳
(ד)√400 מ׳
9.עבור אילו ערכי k למשוואה kx² − 4x + 1 = 0 יש שני פתרונות ממשיים שונים?
(א)k > 4
(ב)k < 0
(ג)k > 4 ו-k ≠ 0
(ד)k < 4, k ≠ 0✓
10.מהו הסימן של x² + 1 לכל x ממשי?
(א)תמיד שלילי
(ב)יכול להיות חיובי או שלילי
(ג)שווה לאפס
(ד)תמיד חיובי✓
11.מהן שורשי המשוואה x² − 5x + 6 = 0?
(א)x = 2 ו x = 3✓
(ב)x = 5 ו x = 1
(ג)x = −2 ו x = −3
(ד)x = 1 ו x = 6
12.הנוסחה הריבועית לפתרון ax² + bx + c = 0 היא:
(א)x = (b ± √(b²+4ac)) / a
(ב)x = (−b ± √(b²+4ac)) / (2a)
(ג)x = (b ± √(b²−4ac)) / (2a)
(ד)x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)✓
13.פרקו לגורמים: 3x² − 27
(א)3x(x − 9)
(ב)3(x − 3)(x + 3)✓
(ג)(3x − 9)(x + 3)
(ד)3(x² − 9)
14.פתרו: x² − 6x + 5 = 0 ומצאו את סכום הפתרונות.
(א)5
(ב)11
(ג)6✓
(ד)1
15.פתרו: 4x² − 9 = 0 על ידי הפרש ריבועים
(א)x = 3/2 או x = −3/2✓
(ב)x = 3 או x = −3
(ג)x = 9/4 או x = −9/4
(ד)x = 2 או x = −2
16.פתרו: 2x² − 5x − 3 ≥ 0.
(א)x ≤ −½ או x ≥ 3✓
(ב)x ≥ 3
(ג)x ≤ −½
(ד)−½ ≤ x ≤ 3
17.פתרו: x² + 2x − 8 < 0.
(א)−4 < x < 2✓
(ב)−2 < x < 4
(ג)x < 2
(ד)x < −4 או x > 2
18.פתרו: x² = 81
(א)x = −9
(ב)x = ±40.5
(ג)x = 9
(ד)x = ±9✓
19.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² ו־y = x² − 4x + 4.
y = x²y = x² − 4x + 4
(א)אין נקודות חיתוך
(ב)x = 2 (נקודה אחת: (2, 4))✓
(ג)x = 1 ו־x = 3
(ד)x = 0 ו־x = 4
20.פתרו: y = x² − 4, y = x + 2. ציינו את נקודות החיתוך.
y = x + 2y = x² − 4
(א)(2, 4) ו-(−3, −1)
(ב)(−2, 0) ו-(3, 5)✓
(ג)(0, −4) ו-(3, 5)
(ד)(−1, 0) ו-(2, 4)

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

מפתח תשובות ופתרונות

20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.
−2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
x = 7 או x = 1 — (x − 4)² = 9, x − 4 = ±3, לכן x = 7 או x = 1.
9; 3 — מחצית המקדם של x הוא 3, ולכן מוסיפים 3² = 9. x² + 6x + 9 = (x + 3)².
x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
−3 < k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: −3 < k < 3 וk ≠ 0.
0 — Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
20 מ׳ — x · 2x ≥ 800 → 2x² ≥ 800 → x² ≥ 400 → x ≥ 20.
k < 4, k ≠ 0 — לשני פתרונות שונים דרוש Δ > 0: (−4)²−4k·1>0. 16−4k>0. k<4. גם k≠0 (אחרת לא ריבועית).
תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
x = 2 ו x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) — זוהי הנוסחה הריבועית הסטנדרטית.
3(x − 3)(x + 3) — תחילה הוציאו גורם משותף: 3x² − 27 = 3(x² − 9). לאחר מכן הפרש ריבועים: 3(x − 3)(x + 3).
6 — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0. הפתרונות: x = 1 ו-x = 5. סכום: 1 + 5 = 6.
x = 3/2 או x = −3/2 — 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) = 0. 2x = 3 → x = 3/2 או 2x = −3 → x = −3/2.
x ≤ −½ או x ≥ 3 — שורשים של 2x² − 5x − 3 = 0: x = 3 ו-x = −½. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.
−4 < x < 2 — שורשים: x = −4, x = 2 (פירוק (x + 4)(x − 2)). הפרבולה שלילית בין −4 ל-2.
x = ±9 — x² = 81 → x = ±√81 = ±9.
x = 2 (נקודה אחת: (2, 4)) — x² = x² − 4x + 4, 0 = −4x + 4, x = 1. נקודה: (1,1). תיקון: 4x=4, x=1, y=1.
(−2, 0) ו-(3, 5) — x²−4=x+2 → x²−x−6=0 → (x−3)(x+2)=0. x=3: y=5. x=−2: y=0.