משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3 ערכים (x = 2, 3, 4) — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). פתרון: 1 < x < 5. הערכים השלמים: 2, 3, 4 — סך הכול 3 ערכים.
2. −2 ≤ x ≤ 3 — שורשי x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2): x = 3 ו־x = −2. הפרבולה שלילית בין השורשים.
3. x = 6 או x = −6 — x² − 36 = (x − 6)(x + 6) = 0. לכן x = 6 או x = −6.
4. 9; 3 — מחצית המקדם של x הוא 3, ולכן מוסיפים 3² = 9. x² + 6x + 9 = (x + 3)².
5. x = −2 ± √3 — Δ = 16 − 4 = 12. x = (−4 ± √12)/2 = (−4 ± 2√3)/2 = −2 ± √3.
6. x = 5 או x = −2 — מפרקים: (x − 5)(x + 2) = 0. פתרונות: x = 5 או x = −2.
7. x = 7 או x = −7 — x² = 49 ⟹ x = ±√49 = ±7.
8. x = 2 או x = −2 — 2x² = 8, x² = 4, x = ±2.
9. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
10. (x − 10)(x + 10) — x² − 100 = x² − 10² = (x − 10)(x + 10).
11. תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
12. (3x − 1)(3x + 1) — 9x² − 1 = (3x)² − 1². הפרש ריבועים: (3x − 1)(3x + 1).
13. (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). כעת x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
14. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0, (x−2)(x−3) = 0, x = 2 או x = 3.
15. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
16. 4 או −4 — (x+y)² = x²+2xy+y² = 10+6 = 16. לכן x+y = ±4.
17. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
18. x = 5 או x = −2 — נחפש a, b כך ש־ab = −10, a + b = −3: a = −5, b = 2. (x − 5)(x + 2) = 0.
19. x ≤ −½ או x ≥ 3 — שורשים של 2x² − 5x − 3 = 0: x = 3 ו-x = −½. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.
20. x = 3 ו-x = 4 — x² − 7x + 12 = (x−3)(x−4) = 0 ⟹ x = 3 או x = 4.