משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 < x < 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). הביטוי שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
2. 30 ק״מ/ש — 120/v − 120/(v+10) = 1 → 120(v+10)−120v = v(v+10) → 1200 = v²+10v → v²+10v−1200=0 → v=30.
3. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
4. x = ±2 או x = ±3 — נציב t = x²: t² − 13t + 36 = 0. (t − 4)(t − 9) = 0. t = 4 → x = ±2, t = 9 → x = ±3.
5. x = 5 או x = −5 — x² = 25 פירושו x = √25 או x = −√25, כלומר x = 5 או x = −5.
6. (0, 1) ו־(2, 5) — x² + 1 = 2x + 1, x² − 2x = 0, x(x−2) = 0. נקודות: (0,1) ו(2,5).
7. x = 2 או x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
8. x < −2 או x > 3 — שורשים: x = 3 ו-x = −2. הפרבולה פותחת כלפי מעלה, ולכן הביטוי חיובי מחוץ לשורשים.
9. 40 ק״מ/ש — 200/v − 200/(v+20) = 1 → 200·20 = v(v+20) → v²+20v−4000=0 → v=40.
10. x² − 16 — (a + b)(a − b) = a² − b². כאן a = x, b = 4. לכן (x + 4)(x − 4) = x² − 16.
11. t = 4 שניות — h(t) = 0: −5t² + 15t + 20 = 0 → t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4 (הפתרון t = −1 נפסל כי הזמן חיובי).
12. שניים: 3 ו-−3 — x² = 9 → x = ±3. שני פתרונות.
13. 50 ק״מ/ש — 300/v − 300/(v+10)=1 → 3000=v²+10v → v²+10v−3000=0. פתרון: v=50.
14. 2 — x²+x=2x+2 → x²−x−2=0 → (x−2)(x+1)=0. שני פתרונות.
15. 0 — Δ = b² − 4ac = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד.
16. 4(x − 2)(x + 2) — תחילה הוצאת גורם משותף: 4x² − 16 = 4(x² − 4). לאחר מכן הפרש ריבועים: 4(x − 2)(x + 2).
17. x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה פתוחה כלפי מעלה. f > 0 מחוץ לשורשים.
18. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
19. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
20. 5 — (x + 3)² − x² = 39 → 6x + 9 = 39 → 6x = 30 → x = 5.