15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{3} - x)^{5}$ ?
f(x) = (x^3-x)^5
(א) $(3 x^{2} - 1)^{5}$
(ב) $5 (3 x^{2} - 1)^{4}$
(ג) $5 (x^{3} - x)^{4} (3 x^{2} - 1)$ ✓
(ד) $5 (x^{3} - x)^{4}$
2.כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף $f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} + x}$ ?
f(x) = \frac{x+1}{x^2+x}
(א)אחת ( $x = 0$ )✓
(ב)שתיים ( $x = 0, x = - 1$ )
(ג)אף אחת
(ד)שלוש
3.חברה: הרווח $P (x) = - x^{2} + 40 x - 100$ (אלפי ש"ח) כתלות בכמות $x$ . מהי הכמות שממקסמת רווח?
(א) $x = 100$
(ב) $x = 10$
(ג) $x = 20$ ✓
(ד) $x = 40$
4.באיזו נקודה הפונקציה $f (x) = x^{2} - 10 x + 30$ מקבלת מינימום?
f(x) = x^2-10x+30
(א) $x = - 5$
(ב) $x = 30$
(ג) $x = 5$ ✓
(ד) $x = 10$
5.מהי הנגזרת של $f (x) = 5 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 1$ ?
f(x) = 5x^3+2x^2-7x+1
(א) $15 x^{3} + 4 x - 7$
(ב) $5 x^{2} + 2 x - 7$
(ג) $15 x^{2} + 4 x - 7 + 1$
(ד) $15 x^{2} + 4 x - 7$ ✓
6.מהי הנגזרת של $f (x) = 3 x^{2} - 1$ ?
f(x) = \sqrt{3x^2-1}
(א) $\frac{6 x}{3 x ^{2} - 1}$
(ב) $\frac{1}{2 3 x ^{2} - 1}$
(ג) $\frac{3 x}{2 3 x ^{2} - 1}$
(ד) $\frac{3 x}{3 x ^{2} - 1}$ ✓
7.נתון $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ . מהו ערך המינימום?
f(x) = x^2-2x+5
(א) $1$
(ב) $5$
(ג) $0$
(ד) $4$ ✓
8.נתון $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ . מהי נקודת הקיצון?
f(x) = x^2-6x+8
(א)מקסימום ב- $x = 3$
(ב)מינימום ב- $x = 6$
(ג)מינימום ב- $x = 0$
(ד)מינימום ב- $x = 3$ ✓
9.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ?
f(x) = x^3-6x^2+9x-2
(א) $3 x^{2} - 12 x + 9 - 2$
(ב) $3 x^{2} - 6 x + 9$
(ג) $x^{2} - 12 x + 9$
(ד) $3 x^{2} - 12 x + 9$ ✓
10.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = x^3-6x^2+9x
(א) $x > 3$
(ב) $1 < x < 3$
(ג) $x < 1$ או $x > 3$ ✓
(ד) $x < 1$
11.גרף $f^{'}$ הוא קו ישר עולה החותך את ציר $x$ ב- $x = 3$ . מהו טיב הנקודה $x = 3$ של $f$ ?
(א)פיתול
(ב)קצה תחום
(ג)מקסימום
(ד)מינימום✓
12.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ ?
f(x) = \frac{2x+1}{x-3}
(א) $\frac{7}{( x - 3 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{- 5}{( x - 3 ) ^{2}}$
(ג) $\frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}$ ✓
(ד) $\frac{2}{( x - 3 ) ^{2}}$
13.נתון $f^{'} (x) = x (x - 2)$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ ?
(א)שלוש
(ב)שתיים✓
(ג)אף אחת
(ד)אחת
14.נתון ש- $f^{'} (x) = 0$ ב- $x = 2$ , $f^{'} > 0$ ב- $x < 2$ ו- $f^{'} < 0$ ב- $x > 2$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ וטיבן?
(א)אין קיצון
(ב)מינימום אחד ב- $x = 2$
(ג)מקסימום אחד ב- $x = 2$ ✓
(ד)פיתול ב- $x = 2$
15.נתון $f (x) = \frac{1}{x}$ . מהו שיפוע המשיק בנקודה $x = 1$ ?
f(x) = \frac{1}{x}
(א) $1$
(ב) $2$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $- 1$ ✓

מפתח תשובות

$5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
$x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
$x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
$15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
$\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
$4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
$3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
$x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
$\frac{-7}{(x-3)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$.
שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
$-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'