15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.נתון $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = \frac{x^2}{x-1}
(א)אין קיצון
(ב)מקסימום ב- $x = 0$ , מינימום ב- $x = 2$ ✓
(ג)מינימום ב- $x = 0$ , מקסימום ב- $x = 2$
(ד)מינימום ב- $x = 2$ בלבד
2.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ ?
f(x) = x^4-2x^3
(א) $4 x^{3} - 6 x^{2}$
(ב) $12 x^{2} - 12 x$ ✓
(ג) $12 x^{2} - 6 x$
(ד) $12 x^{3} - 12 x$
3.נתון $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = x^4-8x^2
(א) $0 < x < 2$
(ב) $x < - 2$ או $x > 2$
(ג) $x > 0$
(ד) $- 2 < x < 0$ או $x > 2$ ✓
4.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x + 1)$ לפי כלל המכפלה?
f(x) = x^2(x+1)
(א) $x^{2} + 2 x$
(ב) $3 x^{2} + x$
(ג) $2 x (x + 1)$
(ד) $3 x^{2} + 2 x$ ✓
5.מהי הנגזרת של $f (x) = x x$ (כלומר $x^{3/2}$ )?
(א) $x$
(ב) $\frac{3}{2} x$
(ג) $\frac{3}{2} x$ ✓
(ד) $\frac{1}{2} x$
6.מהן האסימפטוטות האנכיות של $f (x) = \frac{x}{x ^{2} - 9}$ ?
f(x) = \frac{x}{x^2-9}
(א) $x = 9$
(ב) $x = 3$ בלבד
(ג) $x = 3, x = - 3$ ✓
(ד) $x = 0$
7.גרף $f^{'}$ הוא קו ישר עולה החותך את ציר $x$ ב- $x = 3$ . מהו טיב הנקודה $x = 3$ של $f$ ?
(א)פיתול
(ב)קצה תחום
(ג)מקסימום
(ד)מינימום✓
8.באיזו נקודה הפונקציה $f (x) = x^{2} - 6 x$ מקבלת את ערכה המינימלי?
f(x) = x^2-6x
(א) $x = 3$ ✓
(ב) $x = - 3$
(ג) $x = 6$
(ד) $x = 0$
9.נתון $f (x) = x^{2}$ . מהו שיפוע הנורמל לגרף בנקודה $x = 2$ ?
f(x) = x^2
(א) $4$
(ב) $- \frac{1}{4}$ ✓
(ג) $- 4$
(ד) $\frac{1}{4}$
10.נתון $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = 2x^3+3x^2-12x
(א) $x > 1$
(ב) $x < - 2$ או $x > 1$ ✓
(ג) $x < - 2$
(ד) $- 2 < x < 1$
11.נתון $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ . מהי הנגזרת, וכמה נקודות קיצון יש?
f(x) = \frac{x}{x-1}
(א) $f^{'} (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ , מינימום אחד
(ב) $f^{'} (x) = \frac{- 1}{( x - 1 ) ^{2}}$ , אין קיצון✓
(ג) $f^{'} (x) = 1$ , אין קיצון
(ד) $f^{'} (x) = \frac{- 1}{( x - 1 ) ^{2}}$ , מקסימום אחד
12.מהי הנגזרת של $f (x) = 2 x - 5$ ?
f(x) = \sqrt{2x-5}
(א) $\frac{1}{2 x}$
(ב) $\frac{2}{2 x - 5}$
(ג) $\frac{1}{2 x - 5}$ ✓
(ד) $\frac{1}{2 2 x - 5}$
13.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ?
f(x) = x^3-6x^2+9x-2
(א) $3 x^{2} - 12 x + 9 - 2$
(ב) $3 x^{2} - 6 x + 9$
(ג) $x^{2} - 12 x + 9$
(ד) $3 x^{2} - 12 x + 9$ ✓
14.מהי הנגזרת של $f (x) = - 3 x^{2} + 8 x$ ?
f(x) = -3x^2+8x
(א) $- 3 x + 8$
(ב) $- 6 x^{2} + 8$
(ג) $- 6 x + 8$ ✓
(ד) $6 x + 8$
15.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x ^{4} - x ^{2}}{x}$ (עבור $x \neq = 0$ )?
f(x) = \frac{x^4-x^2}{x}
(א) $x^{2} - 1$
(ב) $4 x^{3} - 2 x$
(ג) $3 x^{2} - x$
(ד) $3 x^{2} - 1$ ✓

מפתח תשובות

מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ נותן $x=0,2$. בדיקת סימן: ב-$x=0$ מקסימום, ב-$x=2$ מינימום.
$12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
$-2<x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$. הביטוי חיובי ב-$-2<x<0$ וב-$x>2$.
$3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
$\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
$x=3,\ x=-3$ — המכנה $x^2-9=(x-3)(x+3)$ מתאפס ב-$x=\pm 3$, והמונה אינו, לכן שתי אסימפטוטות: $x=3$ ו-$x=-3$.
מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
$-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
$x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
$f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
$\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
$3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
$-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
$3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'