15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.נתון $f (x) = x^{2}$ . מהו שיפוע הנורמל לגרף בנקודה $x = 2$ ?
f(x) = x^2
(א) $4$
(ב) $- \frac{1}{4}$ ✓
(ג) $- 4$
(ד) $\frac{1}{4}$
2.נתון $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ . מהו ערך המינימום?
f(x) = x^2-2x+5
(א) $1$
(ב) $5$
(ג) $0$
(ד) $4$ ✓
3.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המינימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $3$
(ב) $0$
(ג) $1$ ✓
(ד) $5$
4.ריבוע המרחק מהנקודה $(3, 0)$ לנקודה $(x, x^{2})$ על הפרבולה $y = x^{2}$ הוא $D (x) = (x - 3)^{2} + x^{4}$ . מהי הנגזרת $D^{'} (x)$ ?
y = x^2
(א) $2 x + 4 x^{3}$
(ב) $2 (x - 3) + 4 x^{3}$ ✓
(ג) $(x - 3) + 4 x^{3}$
(ד) $2 (x - 3) + x^{4}$
5.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{2} - 4)^{2}$ ?
f(x) = (x^2-4)^2
(א) $4 x (x^{2} - 4)$ ✓
(ב) $2 x (x^{2} - 4)$
(ג) $4 x (x^{2} - 4)^{2}$
(ד) $2 (x^{2} - 4)$
6.באיזה תחום הפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ קעורה כלפי מעלה?
f(x) = x^3-3x^2+1
(א) $x > 1$ ✓
(ב) $x < 1$
(ג)כל $x$
(ד) $x > 0$
7.נתון $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = 2x^3+3x^2-12x
(א) $x > 1$
(ב) $x < - 2$ או $x > 1$ ✓
(ג) $x < - 2$
(ד) $- 2 < x < 1$
8.מהן האסימפטוטות האנכיות של $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$ ?
f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}
(א)אין
(ב) $x = 1, x = - 1$ ✓
(ג) $x = 1$ בלבד
(ד) $x = 0$
9.נתון $f^{'} (x) = x (x - 2)$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ ?
(א)שלוש
(ב)שתיים✓
(ג)אף אחת
(ד)אחת
10.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = x^3-6x^2+9x
(א) $x > 3$
(ב) $1 < x < 3$
(ג) $x < 1$ או $x > 3$ ✓
(ד) $x < 1$
11.נתונה $f$ שנגזרתה $f^{'} (x) = x^{2} + 1$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ ?
(א)תלוי
(ב)שתיים
(ג)אחת
(ד)אף אחת✓
12.נתון $f^{''} (x) = 6 x - 12$ . מהי נקודת הפיתול (ערך $x$ )?
(א) $x = 12$
(ב) $x = 2$ ✓
(ג) $x = 6$
(ד) $x = - 2$
13.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{1}{x}$ ?
f(x) = \frac{1}{x}
(א) $ln x$
(ב) $\frac{1}{x ^{2}}$
(ג) $- \frac{1}{x ^{2}}$ ✓
(ד) $- \frac{1}{x}$
14.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . מהו תחום הירידה?
f(x) = x^3-6x^2+9x
(א) $x < 1$ או $x > 3$
(ב) $1 < x < 3$ ✓
(ג) $x > 3$
(ד) $x < 1$
15.נתון $f (x) = x^{3}$ . מהי משוואת המשיק בנקודה $x = - 1$ ?
f(x) = x^3
(א) $y = 3 x$
(ב) $y = - 3 x - 2$
(ג) $y = 3 x - 2$
(ד) $y = 3 x + 2$ ✓

מפתח תשובות

$-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
$4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
$1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
$2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
$4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
$x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
$x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
$x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
$x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
אף אחת — $f'(x)=x^2+1>0$ תמיד, לכן $f$ עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
$x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.
$-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
$1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
$y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'