15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ לפי כלל השרשרת?
f(x) = (x^2+1)^3
(א) $6 x (x^{2} + 1)^{2}$ ✓
(ב) $6 x (x^{2} + 1)^{3}$
(ג) $3 (x^{2} + 1)^{2}$
(ד) $3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot x$
2.מהי הנגזרת של $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a, b, c$ קבועים)?
(א) $2 a x + b$ ✓
(ב) $2 a x + b + c$
(ג) $2 a x + b x$
(ד) $a x + b$
3.נתון $f^{''} (x) = 6 x - 12$ . מהי נקודת הפיתול (ערך $x$ )?
(א) $x = 12$
(ב) $x = 2$ ✓
(ג) $x = 6$
(ד) $x = - 2$
4.מהי הנגזרת של $f (x) = (5 - 2 x)^{3}$ ?
f(x) = (5-2x)^3
(א) $- 6 (5 - 2 x)^{3}$
(ב) $- 6 (5 - 2 x)^{2}$ ✓
(ג) $3 (5 - 2 x)^{2}$
(ד) $6 (5 - 2 x)^{2}$
5.נתון $f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ . מהי נקודת הקיצון?
f(x) = \frac{2x^2}{x^2+1}
(א)אין
(ב)מינימום ב- $x = 0$ ✓
(ג)מינימום ב- $x = 1$
(ד)מקסימום ב- $x = 0$
6.מהי הנגזרת של $f (x) = (2 x - 1)^{2}$ ?
f(x) = (2x-1)^2
(א) $8 x - 1$
(ב) $2 (2 x - 1)$
(ג) $4 x - 2$
(ד) $8 x - 4$ ✓
7.נתון $f (x) = x^{3}$ . מהי נקודת הפיתול?
f(x) = x^3
(א)אין
(ב) $x = 0$ ✓
(ג) $x = - 1$
(ד) $x = 1$
8.מהי הנגזרת של $f (x) = 4 x^{1/2}$ (כלומר $4 x$ )?
f(x) = 4x^{1/2}
(א) $2 x$
(ב) $\frac{1}{x}$
(ג) $\frac{2}{x}$ ✓
(ד) $\frac{4}{x}$
9.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x$ . מהו ערך המינימום של הפונקציה?
f(x) = x^3-3x
(א) $- 1$
(ב) $2$
(ג) $- 2$ ✓
(ד) $0$
10.מהי האסימפטוטה האנכית של $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ?
f(x) = \frac{1}{x-3}
(א) $x = 3$ ✓
(ב) $x = - 3$
(ג) $y = 0$
(ד) $x = 0$
11.מהי האסימפטוטה האופקית של $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ?
f(x) = \frac{2x}{x+1}
(א) $y = 2$ ✓
(ב) $x = - 1$
(ג) $y = 1$
(ד) $y = 0$
12.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ?
f(x) = x^3-6x^2+9x-2
(א) $3 x^{2} - 12 x + 9 - 2$
(ב) $3 x^{2} - 6 x + 9$
(ג) $x^{2} - 12 x + 9$
(ד) $3 x^{2} - 12 x + 9$ ✓
13.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} x$ (כלומר $x^{5/2}$ )?
f(x) = x^2\sqrt{x}
(א) $\frac{5}{2} x^{1/2}$
(ב) $\frac{5}{2} x^{3/2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{5} x^{3/2}$
(ד) $2 x^{3/2}$
14.נתון $f (x) = \frac{1}{x}$ . מהי משוואת המשיק בנקודה $x = 1$ ?
f(x) = \frac{1}{x}
(א) $y = - x + 2$ ✓
(ב) $y = x$
(ג) $y = - x$
(ד) $y = - x - 2$
15.שיפוע המשיק לגרף $f (x) = x^{2}$ בנקודה $x = a$ הוא $10$ . מהו $a$ ?
f(x) = x^2
(א) $10$
(ב) $10$
(ג) $5$ ✓
(ד) $2.5$

מפתח תשובות

$6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
$2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
$x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.
$-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
מינימום ב-$x=0$ — $f'(x)=\frac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי — מינימום.
$8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
$x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
$\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
$-2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-3=-2$.
$x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
$y=2$ — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $\frac{2}{1}=2$, כלומר $y=2$.
$3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
$\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
$y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
$5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'