📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=1$ או $x=-1$ — משיק בנקודה $(a,a^2+1)$: $y=2a x-a^2+1$. דרך $(0,0)$: $-a^2+1=0$, כלומר $a^2=1$, $a=\pm 1$.
2. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
3. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
4. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
5. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
6. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
7. $3x^2-2x$ — נפתח: $f(x)=x^3-x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2-2x$.
8. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
9. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
10. $6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.
11. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
12. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
13. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
14. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
15. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.