📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=1$ — המכנה מתאפס ב-$x=1$ והמונה $x^2=1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
2. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
3. $x=2$ (וגם $x=0$) — $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)=0$ נותן $x=0$ ו-$x=2$. בשתיהן הקעירות מתחלפת — נקודות פיתול.
4. $6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
5. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
6. $-\frac{6}{x^3}$ — $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, ולכן הנגזרת $3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
7. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — זוהי $\frac{x}{x+1}$. כלל המנה: $\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
8. $x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
9. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
10. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
11. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
12. אף אחת — $f'(x)=x^2+1>0$ תמיד, לכן $f$ עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
13. $x=2$ — משיק אופקי כאשר $f'(x)=0$. $f'(x)=2x-4=0$ נותן $x=2$.
14. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
15. $x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.