📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
2. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
3. $\frac{-3}{(x+4)^2}$ — כלל המנה: $\frac{0\cdot(x+4)-3\cdot 1}{(x+4)^2}=\frac{-3}{(x+4)^2}$.
4. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
5. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — זוהי $\frac{x}{x+1}$. כלל המנה: $\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
6. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
7. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
8. אף אחת — $f''(x)=12x^2\ge 0$ לכל $x$ ואינו מחליף סימן (תמיד אי-שלילי), לכן אין נקודת פיתול.
9. $2x^3-2x$ — נגזרת $\frac{1}{2}x^4$ היא $2x^3$, ונגזרת $-x^2$ היא $-2x$, לכן $f'(x)=2x^3-2x$.
10. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
11. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).
12. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
13. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
14. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
15. $50$ — $S=x^2+(x-10)^2=2x^2-20x+100$. $S'=4x-20=0$ נותן $x=5$, ואז $S=25+25=50$.