15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.נתון $f (x) = x^{3} + 3 x$ . כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?
f(x) = x^3+3x
(א)שלוש
(ב)אחת
(ג)אף אחת✓
(ד)שתיים
2.מבין כל זוגות המספרים שהפרשם $10$ , מהו המינימום של סכום ריבועיהם? (סמן $x$ ו- $x - 10$ )
(א) $25$
(ב) $100$
(ג) $50$ ✓
(ד) $10$
3.נתון $f (x) = x^{2}$ . שני המשיקים בנקודות $x = 1$ ו- $x = - 1$ — מה היחס בין שיפועיהם?
f(x) = x^2
(א)אחד כפול השני
(ב)נגדיים✓
(ג)הופכיים
(ד)שווים
4.נתון $f (x) = x^{2} - 4 x$ . מהו תחום הירידה?
f(x) = x^2-4x
(א) $x > 2$
(ב) $x < 0$
(ג) $x > 4$
(ד) $x < 2$ ✓
5.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המינימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $3$
(ב) $0$
(ג) $1$ ✓
(ד) $5$
6.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ ?
f(x) = x^4-2x^3
(א) $4 x^{3} - 6 x^{2}$
(ב) $12 x^{2} - 12 x$ ✓
(ג) $12 x^{2} - 6 x$
(ד) $12 x^{3} - 12 x$
7.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . מהי נקודת הפיתול?
f(x) = x^3-3x^2
(א) $x = 3$
(ב) $x = 1$ ✓
(ג) $x = 2$
(ד) $x = 0$
8.נתון $f (x) = - x^{2} + 4 x$ . מהי נקודת ההשקה של המשיק האופקי?
f(x) = -x^2+4x
(א) $(0, 0)$
(ב) $(2, 0)$
(ג) $(2, 4)$ ✓
(ד) $(4, 0)$
9.באיזו נקודה הפונקציה $f (x) = x^{2} - 10 x + 30$ מקבלת מינימום?
f(x) = x^2-10x+30
(א) $x = - 5$
(ב) $x = 30$
(ג) $x = 5$ ✓
(ד) $x = 10$
10.נתונה $f$ שנגזרתה $f^{'} (x) = x^{2} + 1$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ ?
(א)תלוי
(ב)שתיים
(ג)אחת
(ד)אף אחת✓
11.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{3} - x)^{5}$ ?
f(x) = (x^3-x)^5
(א) $(3 x^{2} - 1)^{5}$
(ב) $5 (3 x^{2} - 1)^{4}$
(ג) $5 (x^{3} - x)^{4} (3 x^{2} - 1)$ ✓
(ד) $5 (x^{3} - x)^{4}$
12.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $5$ ✓
(ב) $3$
(ג) $9$
(ד) $1$
13.נתון $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = \frac{x}{x^2+1}
(א)מקסימום ב- $x = 0$
(ב)מינימום ב- $x = 1$ , מקסימום ב- $x = - 1$
(ג)אין קיצון
(ד)מקסימום ב- $x = 1$ , מינימום ב- $x = - 1$ ✓
14.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ ?
f(x) = \frac{1}{2x-1}
(א) $\frac{- 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{2}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$
(ג) $\frac{- 2}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$ ✓
(ד) $\frac{- 2}{2 x - 1}$
15.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x + 1)$ לפי כלל המכפלה?
f(x) = x^2(x+1)
(א) $x^{2} + 2 x$
(ב) $3 x^{2} + x$
(ג) $2 x (x + 1)$
(ד) $3 x^{2} + 2 x$ ✓

מפתח תשובות

אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
$50$ — $S=x^2+(x-10)^2=2x^2-20x+100$. $S'=4x-20=0$ נותן $x=5$, ואז $S=25+25=50$.
נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
$x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
$1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
$12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
$x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
$(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
$x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
אף אחת — $f'(x)=x^2+1>0$ תמיד, לכן $f$ עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
$5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
$5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=-1$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=\pm 1$. ב-$x=1$ מקסימום, ב-$x=-1$ מינימום.
$\frac{-2}{(2x-1)^2}$ — $f(x)=(2x-1)^{-1}$. כלל השרשרת: $-(2x-1)^{-2}\cdot 2=\frac{-2}{(2x-1)^2}$.
$3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'