15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.נתון $f (x) = x^{2}$ . מהו תחום הקעירות כלפי מעלה?
f(x) = x^2
(א)כל $x$ ✓
(ב) $x > 1$
(ג) $x < 0$
(ד) $x > 0$
2.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{- 2}$ ?
f(x) = x^{-2}
(א) $- 2 x^{- 3}$ ✓
(ב) $2 x^{- 3}$
(ג) $- x^{- 3}$
(ד) $- 2 x^{- 1}$
3.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = x^3-3x
(א)מינימום ב- $x = 0$
(ב)מקסימום ב- $x = - 1$ , מינימום ב- $x = 1$ ✓
(ג)מקסימום ב- $x = 0$
(ד)מינימום ב- $x = - 1$ , מקסימום ב- $x = 1$
4.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 2 x$ ?
f(x) = x^3-2x
(א) $3 x^{2} - 2 x$
(ב) $3 x^{2} - 2$ ✓
(ג) $3 x - 2$
(ד) $x^{2} - 2$
5.מבין כל המלבנים החסומים מתחת לפרבולה $y = 12 - x^{2}$ עם בסיס על ציר $x$ (סימטרי), מהו רוחב חצי-הבסיס $x$ שממקסם את השטח $S = 2 x (12 - x^{2})$ ?
y = 12-x^2
(א) $x = 3$
(ב) $x = 1$
(ג) $x = 2$ ✓
(ד) $x = 12$
6.נתון $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x$ . מהו תחום הירידה?
f(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2-3x
(א) $x < - 1$ או $x > 3$
(ב) $x < 3$
(ג) $x > - 1$
(ד) $- 1 < x < 3$ ✓
7.באיזה תחום הפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ קעורה כלפי מעלה?
f(x) = x^3-3x^2+1
(א) $x > 1$ ✓
(ב) $x < 1$
(ג)כל $x$
(ד) $x > 0$
8.מהי הנגזרת של $f (x) = - 3 x^{2} + 8 x$ ?
f(x) = -3x^2+8x
(א) $- 3 x + 8$
(ב) $- 6 x^{2} + 8$
(ג) $- 6 x + 8$ ✓
(ד) $6 x + 8$
9.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $5$ ✓
(ב) $3$
(ג) $9$
(ד) $1$
10.נתון $f (x) = x^{2} - 4 x$ . מהו תחום הירידה?
f(x) = x^2-4x
(א) $x > 2$
(ב) $x < 0$
(ג) $x > 4$
(ד) $x < 2$ ✓
11.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x ^{4} - x ^{2}}{x}$ (עבור $x \neq = 0$ )?
f(x) = \frac{x^4-x^2}{x}
(א) $x^{2} - 1$
(ב) $4 x^{3} - 2 x$
(ג) $3 x^{2} - x$
(ד) $3 x^{2} - 1$ ✓
12.ריבוע המרחק מהנקודה $(3, 0)$ לנקודה $(x, x^{2})$ על הפרבולה $y = x^{2}$ הוא $D (x) = (x - 3)^{2} + x^{4}$ . מהי הנגזרת $D^{'} (x)$ ?
y = x^2
(א) $2 x + 4 x^{3}$
(ב) $2 (x - 3) + 4 x^{3}$ ✓
(ג) $(x - 3) + 4 x^{3}$
(ד) $2 (x - 3) + x^{4}$
13.גרף $f$ עולה ב- $x < 1$ , יורד ב- $1 < x < 3$ ועולה ב- $x > 3$ . כמה נקודות קיצון יש?
(א)שתיים✓
(ב)שלוש
(ג)אחת
(ד)אף אחת
14.נתון $f (x) = x^{3}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה $x = 1$ ?
f(x) = x^3
(א) $y = 3 x$
(ב) $y = 3 x + 1$
(ג) $y = x - 2$
(ד) $y = 3 x - 2$ ✓
15.נתון $f (x) = x^{2} + b x$ . המשיק בנקודה $x = 1$ בעל שיפוע $5$ . מהו $b$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $2$
(ג) $4$
(ד) $5$

מפתח תשובות

כל $x$ — $f''(x)=2>0$ לכל $x$, לכן הפרבולה קעורה כלפי מעלה תמיד.
$-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
$3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
$x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=2$.
$-1<x<3$ — $f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)<0$ בין השורשים, כלומר $-1<x<3$.
$x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
$-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
$5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
$x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
$3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
$2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
שתיים — מעבר מעלייה לירידה ב-$x=1$ (מקסימום) ומירידה לעלייה ב-$x=3$ (מינימום) — סך הכל שתי נקודות קיצון.
$y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
$3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'