15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.מהי הנגזרת של $f (x) = 3 x^{2} - 1$ ?
f(x) = √(3x^2-1)
(א) $\frac{6 x}{3 x ^{2} - 1}$
(ב) $\frac{1}{2 3 x ^{2} - 1}$
(ג) $\frac{3 x}{2 3 x ^{2} - 1}$
(ד) $\frac{3 x}{3 x ^{2} - 1}$ ✓
2.נתון $f (x) = x + \frac{1}{x}$ (עבור $x > 0$ ). מהי נקודת המינימום?
(א) $x = 0$
(ב) $x = 2$
(ג) $x = \frac{1}{2}$
(ד) $x = 1$ ✓
3.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x$ . מהו ערך הנגזרת בנקודה $x = 2$ ?
f(x) = x^3-3x
(א) $12$
(ב) $9$ ✓
(ג) $3$
(ד) $6$
4.רוצים לחלק חוט באורך $24$ ס"מ לשני ריבועים כך שסכום שטחיהם מינימלי. מה אורך צלע כל ריבוע במצב האופטימלי?
(א) $4$ ס"מ
(ב) $2$ ס"מ
(ג) $3$ ס"מ (חלוקה שווה)✓
(ד) $6$ ס"מ
5.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המינימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $3$
(ב) $0$
(ג) $1$ ✓
(ד) $5$
6.בהמשך לשאלה הקודמת, $P (x) = - x^{2} + 40 x - 100$ . מהו הרווח המקסימלי?
(א) $400$
(ב) $100$
(ג) $300$ ✓
(ד) $200$
7.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$ ?
f(x) = ((3x-2)/(2x+1))
(א) $\frac{- 7}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{7}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$ ✓
(ג) $\frac{7}{2 x + 1}$
(ד) $\frac{3}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
8.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ?
f(x) = ((√(x))/(x+1))
(א) $\frac{( x + 1 ) - 2 x}{2 x ( x + 1 ) ^{2}}$ ✓
(ב) $\frac{1 - x}{( x + 1 ) ^{2}}$
(ג) $\frac{1}{2 x ( x + 1 )}$
(ד) $\frac{x + 1}{2 x}$
9.נתון $f (x) = x^{2} + b x$ . המשיק בנקודה $x = 1$ בעל שיפוע $5$ . מהו $b$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $2$
(ג) $4$
(ד) $5$
10.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x - 1)^{3}$ ?
f(x) = x^2(x-1)^3
(א) $6 x^{2} (x - 1)^{2}$
(ב) $2 x \cdot 3 (x - 1)^{2}$
(ג) $2 x (x - 1)^{2}$
(ד) $2 x (x - 1)^{3} + 3 x^{2} (x - 1)^{2}$ ✓
11.נתון גרף הנגזרת $f^{'}$ : הוא חיובי לכל $x$ . מה ניתן לומר על $f$ ?
(א) $f$ קבועה
(ב)ל- $f$ יש מקסימום
(ג) $f$ עולה תמיד✓
(ד) $f$ יורדת תמיד
12.נתון $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = x^4-2x^2
(א)מינימום ב- $x = \pm 2$
(ב)מינימום ב- $x = 0$
(ג)מקסימום ב- $x = \pm 1$
(ד)מינימום ב- $x = \pm 1$ , מקסימום ב- $x = 0$ ✓
13.בהמשך לשאלה הקודמת, $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ . מהו הגובה המקסימלי?
(א) $40$ מטר
(ב) $10$ מטר
(ג) $20$ מטר✓
(ד) $15$ מטר
14.מהי הנגזרת של $f (x) = x$ ?
f(x) = √(x)
(א) $2 x$
(ב) $\frac{1}{x}$
(ג) $\frac{2}{x}$
(ד) $\frac{1}{2 x}$ ✓
15.נתון $f^{''} (x) = 6 x - 12$ . מהי נקודת הפיתול (ערך $x$ )?
(א) $x = 12$
(ב) $x = 2$ ✓
(ג) $x = 6$
(ד) $x = - 2$

מפתח תשובות

$\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
$x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ועבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
$9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
$3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
$1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
$300$ — מקסימום ב-$x=20$: $P(20)=-400+800-100=300$ אלפי ש"ח.
$\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
$\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
$3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
$2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$ — כלל מכפלה: $u=x^2,\ u'=2x$; $v=(x-1)^3,\ v'=3(x-1)^2$. אז $f'=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$.
$f$ עולה תמיד — $f'>0$ בכל מקום פירושו ש-$f$ עולה ממש בכל תחום הגדרתה.
מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
$20$ מטר — הגובה המקסימלי ב-$t=2$: $h(2)=40-20=20$ מטר.
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $\sqrt{x}=x^{1/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'