📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
2. $y=2x-6$ — $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $f(3)=9-12+3=0$, הנקודה $(3,0)$. המשיק: $y-0=2(x-3)$, כלומר $y=2x-6$.
3. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(1)=2$, שיפוע הנורמל $-\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,0)$. הנורמל: $y-0=-\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
4. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
5. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — זוהי $\frac{x}{x+1}$. כלל המנה: $\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
6. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).
7. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
8. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
9. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
10. $x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
11. $x>0$ — $f''(x)=6x>0$ כאשר $x>0$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
12. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
13. מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=0$ נותן $2x^3=16$, כלומר $x^3=8$, $x=2$. $f''(x)=2+\frac{32}{x^3}>0$ ב-$x=2$, לכן מינימום.
14. $2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
15. $2x^3-2x$ — נגזרת $\frac{1}{2}x^4$ היא $2x^3$, ונגזרת $-x^2$ היא $-2x$, לכן $f'(x)=2x^3-2x$.