📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
2. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
3. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
4. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=-6x+6$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
5. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה (או שרשרת על $(x^2+1)^{-1}$): $\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
6. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
7. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
8. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
9. $3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
10. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
11. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
12. $\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
13. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
14. $x^2-1$ — נגזרת $\frac{1}{3}x^3$ היא $\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$, ונגזרת $-x$ היא $-1$, לכן $f'(x)=x^2-1$.
15. אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.