📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-16$ — $f'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. $f''(x)=6x$; ב-$x=2$, $f''(2)=12>0$ ולכן זו נקודת מינימום. $f(2)=2^3-12(2)=8-24=-16$.
2. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
3. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
4. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
5. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
6. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
7. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
8. אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
9. $2$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$. משווים לאפס: $1-\frac{1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1$ (כי $x>0$). $f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$ עבור $x>0$, לכן זו נקודת מינימום. $f(1)=1+\frac{1}{1}=2$.
10. שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
11. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
12. $x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ועבור $x>0$ מתקבל $x=2$.
13. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
14. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
15. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.