📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
2. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
3. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.
4. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
5. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
6. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
7. $2$ — $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום. המקסימום ב-$x=-1$: $f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$.
8. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
9. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
10. $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x[(x^2+1)-(x^2-1)]}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\cdot 2}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$.
11. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
12. $x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.
13. $5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
14. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ הביטוי שואף ל-$0$. האסימפטוטה $y=0$.
15. $6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.