📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
2. מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
3. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.
4. $3x^2-2x$ — נפתח: $f(x)=x^3-x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2-2x$.
5. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
7. $y=2$ — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $\frac{2}{1}=2$, כלומר $y=2$.
8. $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x[(x^2+1)-(x^2-1)]}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\cdot 2}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$.
9. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
10. $\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
11. $6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
12. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
13. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
14. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ הביטוי שואף ל-$0$. האסימפטוטה $y=0$.
15. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).