15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} x$ (כלומר $x^{5/2}$ )?
f(x) = x^2\sqrt{x}
(א) $\frac{5}{2} x^{1/2}$
(ב) $\frac{5}{2} x^{3/2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{5} x^{3/2}$
(ד) $2 x^{3/2}$
2.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x + 1)$ לפי כלל המכפלה?
f(x) = x^2(x+1)
(א) $x^{2} + 2 x$
(ב) $3 x^{2} + x$
(ג) $2 x (x + 1)$
(ד) $3 x^{2} + 2 x$ ✓
3.נתון $f (x) = x^{3} + a x$ . ידוע $f^{'} (2) = 15$ . מהו $a$ ?
(א) $15$
(ב) $3$ ✓
(ג) $- 3$
(ד) $1$
4.כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף $f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} + x}$ ?
f(x) = x+1/x^2+x
(א)אחת ( $x = 0$ )✓
(ב)שתיים ( $x = 0, x = - 1$ )
(ג)אף אחת
(ד)שלוש
5.מהי הנגזרת של $f (x) = 5 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 1$ ?
f(x) = 5x^3+2x^2-7x+1
(א) $15 x^{3} + 4 x - 7$
(ב) $5 x^{2} + 2 x - 7$
(ג) $15 x^{2} + 4 x - 7 + 1$
(ד) $15 x^{2} + 4 x - 7$ ✓
6.נתון $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = x^4-2x^2
(א)מינימום ב- $x = \pm 2$
(ב)מינימום ב- $x = 0$
(ג)מקסימום ב- $x = \pm 1$
(ד)מינימום ב- $x = \pm 1$ , מקסימום ב- $x = 0$ ✓
7.נתון $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ . מהו $f^{'} (3)$ ?
f(x) = x/x-2
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $- 1$
(ג) $- 2$ ✓
(ד) $2$
8.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$ ?
f(x) = 3x-2/2x+1
(א) $\frac{- 7}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{7}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$ ✓
(ג) $\frac{7}{2 x + 1}$
(ד) $\frac{3}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
9.גרף $f$ עולה ב- $x < 1$ , יורד ב- $1 < x < 3$ ועולה ב- $x > 3$ . כמה נקודות קיצון יש?
(א)שתיים✓
(ב)שלוש
(ג)אחת
(ד)אף אחת
10.נתון $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ . מהו ערך המינימום?
f(x) = 1/4x^4-1/2x^2
(א) $- \frac{1}{2}$
(ב) $\frac{1}{4}$
(ג) $0$
(ד) $- \frac{1}{4}$ ✓
11.בהמשך לשאלה הקודמת, $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ . מהו הגובה המקסימלי?
(א) $40$ מטר
(ב) $10$ מטר
(ג) $20$ מטר✓
(ד) $15$ מטר
12.נתון $f (x) = x^{3} + 3 x$ . כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?
f(x) = x^3+3x
(א)שלוש
(ב)אחת
(ג)אף אחת✓
(ד)שתיים
13.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המינימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $3$
(ב) $0$
(ג) $1$ ✓
(ד) $5$
14.נתון $f (x) = x^{2} - 5 x$ . מהו השיפוע של הגרף בנקודה $x = 1$ ?
f(x) = x^2-5x
(א) $- 4$
(ב) $- 3$ ✓
(ג) $- 5$
(ד) $3$
15.נתון $f (x) = - x^{2} + 4 x$ . מהי נקודת ההשקה של המשיק האופקי?
f(x) = -x^2+4x
(א) $(0, 0)$
(ב) $(2, 0)$
(ג) $(2, 4)$ ✓
(ד) $(4, 0)$

מפתח תשובות

$\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
$3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
$3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
$15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
$-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
$\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
שתיים — מעבר מעלייה לירידה ב-$x=1$ (מקסימום) ומירידה לעלייה ב-$x=3$ (מינימום) — סך הכל שתי נקודות קיצון.
$-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
$20$ מטר — הגובה המקסימלי ב-$t=2$: $h(2)=40-20=20$ מטר.
אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
$1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
$-3$ — השיפוע שווה לנגזרת. $f'(x)=2x-5$, ולכן $f'(1)=2-5=-3$.
$(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'