📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-16$ — $f'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. $f''(x)=6x$; ב-$x=2$, $f''(2)=12>0$ ולכן זו נקודת מינימום. $f(2)=2^3-12(2)=8-24=-16$.
2. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
3. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
4. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
5. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
6. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
7. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
8. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(1)=\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
9. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
10. $1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
11. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, ולכן הנגזרת $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
12. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
13. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
14. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
15. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.