📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
2. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
3. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
4. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
5. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
6. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
7. $6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
8. $12(3x-2)^3$ — כלל השרשרת: $4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$.
9. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
10. $y=2x$ — $f'(x)=2x+2$, $f'(0)=2$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=2x$.
11. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
12. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
13. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
14. $2x-1$ — נפתח: $f(x)=x^2-x-6$, ולכן $f'(x)=2x-1$.
15. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.