📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
2. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
3. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
4. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
5. $20$ מטר — הגובה המקסימלי ב-$t=2$: $h(2)=40-20=20$ מטר.
6. $-16$ — $f'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. $f''(x)=6x$; ב-$x=2$, $f''(2)=12>0$ ולכן זו נקודת מינימום. $f(2)=2^3-12(2)=8-24=-16$.
7. אף אחת — $f'(x)=x^2+1>0$ תמיד, לכן $f$ עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
8. $1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
9. $6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
10. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
11. $x=4$ — $f'(x)=2x=8$ נותן $x=4$.
12. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.
13. אף אחת — $f''(x)=12x^2\ge 0$ לכל $x$ ואינו מחליף סימן (תמיד אי-שלילי), לכן אין נקודת פיתול.
14. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
15. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.