📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
2. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
3. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
4. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
5. $x=1$ — המכנה מתאפס ב-$x=1$ והמונה $x^2=1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
6. $6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
7. מינימום ב-$x=0$ — $f'(x)=\frac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי — מינימום.
8. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
9. $2$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$. משווים לאפס: $1-\frac{1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1$ (כי $x>0$). $f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$ עבור $x>0$, לכן זו נקודת מינימום. $f(1)=1+\frac{1}{1}=2$.
10. $3x^2-6x+3$ — גוזרים: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. שני הביטויים שווים, אך התשובה הנכונה כמסיח היא $3x^2-6x+3$.
11. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
12. $-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$ — נפשט: $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^{-1}+x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$.
13. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
14. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
15. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.