15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.גודר בונה מכלאה מלבנית בשטח $50$ מ"ר. איזה מימד $x$ ממזער את ההיקף $P = 2 x + \frac{100}{x}$ ?
(א) $x = 5$
(ב) $x = 10$
(ג) $x = 50$
(ד) $x = 50$ ✓
2.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . מהו תחום העלייה?
f(x) = x^3-6x^2+9x
(א) $x > 3$
(ב) $1 < x < 3$
(ג) $x < 1$ או $x > 3$ ✓
(ד) $x < 1$
3.נתון $f (x) = x^{3}$ . מהי נקודת הפיתול?
f(x) = x^3
(א)אין
(ב) $x = 0$ ✓
(ג) $x = - 1$
(ד) $x = 1$
4.נתון $f (x) = x^{2}$ . מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה $x = 3$ ?
f(x) = x^2
(א) $2$
(ב) $3$
(ג) $9$
(ד) $6$ ✓
5.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 2 x$ ?
f(x) = x^3-2x
(א) $3 x^{2} - 2 x$
(ב) $3 x^{2} - 2$ ✓
(ג) $3 x - 2$
(ד) $x^{2} - 2$
6.נתון $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ . מהי האסימפטוטה האופקית?
f(x) = x/x^2+1
(א)אין
(ב) $y = 0$ ✓
(ג) $x = 0$
(ד) $y = 1$
7.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ ?
f(x) = x^2/x-1
(א) $\frac{x ^{2} + 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}$ ✓
(ג) $\frac{2 x}{x - 1}$
(ד) $\frac{2 x}{( x - 1 ) ^{2}}$
8.נתון $f (x) = x^{2} - 4 x$ . באיזו נקודה המשיק לגרף אופקי?
f(x) = x^2-4x
(א) $x = 0$
(ב) $x = 2$ ✓
(ג) $x = - 2$
(ד) $x = 4$
9.נתון $f (x) = x^{3} + x$ . מהו $f^{''} (1)$ ?
f(x) = x^3+x
(א) $2$
(ב) $3$
(ג) $6$ ✓
(ד) $4$
10.נתון $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ . מהי האסימפטוטה האופקית?
f(x) = 2x+3/x-1
(א) $y = 2$ ✓
(ב) $y = 3$
(ג) $y = - 1$
(ד) $y = 0$
11.נתון $f (x) = x^{2} - 3 x$ . המשיק חותך את ציר $y$ בנקודה $(0, - 4)$ ומשיק בנקודה $x = 2$ . מהו שיפוע המשיק?
f(x) = x^2-3x
(א) $3$
(ב) $- 1$
(ג) $1$ ✓
(ד) $2$
12.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{2} + 1) (x - 2)$ ?
f(x) = (x^2+1)(x-2)
(א) $2 x (x - 2)$
(ב) $3 x^{2} + 1$
(ג) $3 x^{2} - 4 x$
(ד) $3 x^{2} - 4 x + 1$ ✓
13.נתון $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . באיזו $x$ שיפוע המשיק שווה $0$ ?
f(x) = x^2-6x+5
(א) $x = 6$
(ב) $x = 1$
(ג) $x = 3$ ✓
(ד) $x = 5$
14.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
f(x) = x^3-6x^2+9x+1
(א) $5$ ✓
(ב) $3$
(ג) $9$
(ד) $1$
15.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . באילו נקודות המשיק מקביל לציר $x$ ?
f(x) = x^3-3x^2
(א) $x = 1, x = 2$
(ב) $x = 0, x = 3$
(ג) $x = 2$
(ד) $x = 0, x = 2$ ✓

מפתח תשובות

$x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
$x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
$x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
$6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
$3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
$y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
$\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
$x=2$ — משיק אופקי כאשר $f'(x)=0$. $f'(x)=2x-4=0$ נותן $x=2$.
$6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.
$y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
$1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
$3x^2-4x+1$ — לפי כלל המכפלה: $2x(x-2)+(x^2+1)\cdot 1=2x^2-4x+x^2+1=3x^2-4x+1$.
$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
$5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
$x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'