15 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 15 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

1.לפונקציה $f$ מתקיים $f^{'} (2) = 0$ ו- $f^{''} (2) > 0$ . מה ניתן להסיק על $x = 2$ ?
(א)נקודת מקסימום
(ב)נקודת מינימום✓
(ג)אין מסקנה
(ד)נקודת פיתול
2.מלבן בעל היקף $40$ ס"מ. מהו השטח המקסימלי?
(א) $80$
(ב) $100$ ✓
(ג) $160$
(ד) $200$
3.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ ?
f(x) = x^4-2x^3
(א) $4 x^{3} - 6 x^{2}$
(ב) $12 x^{2} - 12 x$ ✓
(ג) $12 x^{2} - 6 x$
(ד) $12 x^{3} - 12 x$
4.לפונקציה $f$ מתקיים $f^{'} (c) = 0$ ו- $f^{''} (c) < 0$ . מה $x = c$ ?
(א)נקודת מקסימום✓
(ב)נקודת פיתול
(ג)נקודת מינימום
(ד)קצה תחום
5.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x + 1)$ לפי כלל המכפלה?
f(x) = x^2(x+1)
(א) $x^{2} + 2 x$
(ב) $3 x^{2} + x$
(ג) $2 x (x + 1)$
(ד) $3 x^{2} + 2 x$ ✓
6.מהי הנגזרת של $f (x) = (\frac{x}{x + 1})^{2}$ ?
f(x) = \left(x/x+1\right)^2
(א) $\frac{2 x}{( x + 1 ) ^{3}}$ ✓
(ב) $\frac{2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$
(ג) $\frac{x}{( x + 1 ) ^{3}}$
(ד) $\frac{2 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}}$
7.באיזה תחום הפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ קעורה כלפי מעלה?
f(x) = x^3-3x^2+1
(א) $x > 1$ ✓
(ב) $x < 1$
(ג)כל $x$
(ד) $x > 0$
8.מהי הנגזרת של $f (x) = (x + 2) (x - 3)$ ?
f(x) = (x+2)(x-3)
(א) $2 x - 6$
(ב) $2 x - 1$ ✓
(ג) $x - 1$
(ד) $2 x + 1$
9.נתון $f (x) = x^{2} + 1$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה $x = 1$ ?
f(x) = x^2+1
(א) $y = 2 x - 1$
(ב) $y = x + 1$
(ג) $y = 2 x + 2$
(ד) $y = 2 x$ ✓
10.מהי הנגזרת של $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a, b, c$ קבועים)?
(א) $2 a x + b$ ✓
(ב) $2 a x + b + c$
(ג) $2 a x + b x$
(ד) $a x + b$
11.נתון $f (x) = x^{2} - 4 x$ . מהו תחום הירידה?
f(x) = x^2-4x
(א) $x > 2$
(ב) $x < 0$
(ג) $x > 4$
(ד) $x < 2$ ✓
12.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . מהי נקודת הפיתול?
f(x) = x^3-3x^2
(א) $x = 3$
(ב) $x = 1$ ✓
(ג) $x = 2$
(ד) $x = 0$
13.נתון $f (x) = x^{2} (3 - x)$ . מהן נקודות הקיצון?
f(x) = x^2(3-x)
(א)מינימום ב- $x = 0$ , מקסימום ב- $x = 2$ ✓
(ב)מקסימום ב- $x = 2$ בלבד
(ג)מינימום ב- $x = 3$
(ד)מקסימום ב- $x = 0$ , מינימום ב- $x = 2$
14.מהי הנגזרת של $f (x) = - 3 x^{2} + 8 x$ ?
f(x) = -3x^2+8x
(א) $- 3 x + 8$
(ב) $- 6 x^{2} + 8$
(ג) $- 6 x + 8$ ✓
(ד) $6 x + 8$
15.נתון $f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ . מהו $f^{'} (1)$ ?
f(x) = (x^2+1)^3
(א) $12$
(ב) $24$ ✓
(ג) $48$
(ד) $8$

מפתח תשובות

נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
$100$ — היקף $2(x+y)=40$ נותן $y=20-x$. שטח $S=x(20-x)=20x-x^2$. $S'=20-2x=0$ נותן $x=10$ (ריבוע), $S=100$ סמ"ר.
$12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
$3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
$\frac{2x}{(x+1)^3}$ — כלל השרשרת: $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\left(\frac{x}{x+1}\right)'$. הנגזרת הפנימית $\frac{1}{(x+1)^2}$, לכן $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2x}{(x+1)^3}$.
$x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
$2x-1$ — נפתח: $f(x)=x^2-x-6$, ולכן $f'(x)=2x-1$.
$y=2x$ — $f'(x)=2x$, השיפוע $f'(1)=2$. הנקודה $(1,f(1))=(1,2)$. המשיק: $y-2=2(x-1)$, כלומר $y=2x$.
$2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
$x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
$x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
$-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
$24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'