📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
2. $x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
3. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
4. $-2<x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$. הביטוי חיובי ב-$-2<x<0$ וב-$x>2$.
5. $3x^2-2x$ — נפתח: $f(x)=x^3-x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2-2x$.
6. $x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
7. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
8. $x=1$ או $x=-1$ — משיק בנקודה $(a,a^2+1)$: $y=2a x-a^2+1$. דרך $(0,0)$: $-a^2+1=0$, כלומר $a^2=1$, $a=\pm 1$.
9. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
10. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$, $f'(1)=-2$. שיפוע הנורמל $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$.
11. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
12. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
13. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
14. $50$ — $S=x^2+(x-10)^2=2x^2-20x+100$. $S'=4x-20=0$ נותן $x=5$, ואז $S=25+25=50$.
15. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.