📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
2. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
3. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
4. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
5. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.
6. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
7. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
8. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
9. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
10. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
11. $2(x^2+x+1)(2x+1)$ — כלל השרשרת: $2(x^2+x+1)\cdot(2x+1)$.
12. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
13. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, ולכן הנגזרת $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
14. $-2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-3=-2$.
15. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.