📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
2. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
3. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
4. $(1,2)$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. $f(1)=1-3+4=2$, לכן נקודת הפיתול $(1,2)$.
5. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
6. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
7. $\frac{2x}{(x+1)^3}$ — כלל השרשרת: $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\left(\frac{x}{x+1}\right)'$. הנגזרת הפנימית $\frac{1}{(x+1)^2}$, לכן $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2x}{(x+1)^3}$.
8. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
9. $6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
10. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
11. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
12. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
13. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
14. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
15. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.