📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
2. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).
3. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
4. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
5. $1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
6. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
7. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
8. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
9. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
10. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
11. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
12. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
13. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
14. נקודת פיתול אופקית (לא קיצון) — $f'(x)=3x^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן ב-$x=0$, לכן זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול עם משיק אופקי.
15. $x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.