📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=2$ — משיק אופקי כאשר $f'(x)=0$. $f'(x)=2x-4=0$ נותן $x=2$.
2. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
3. $5x^4$ — לפי כלל החזקה $(x^5)'=5x^{4}$.
4. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
5. $-16$ — $f'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. $f''(x)=6x$; ב-$x=2$, $f''(2)=12>0$ ולכן זו נקודת מינימום. $f(2)=2^3-12(2)=8-24=-16$.
6. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
7. מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
8. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
9. מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=-1$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=\pm 1$. ב-$x=1$ מקסימום, ב-$x=-1$ מינימום.
10. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
11. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
12. $2x^3-2x$ — נגזרת $\frac{1}{2}x^4$ היא $2x^3$, ונגזרת $-x^2$ היא $-2x$, לכן $f'(x)=2x^3-2x$.
13. $x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.
14. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
15. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.