15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 2 של $(6 x^{2}) d x$
(א)16
(ב)14✓
(ג)18
(ד)-14
2.נתון $f^{'} (x) = 2 x + 1$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 9)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} + x$
(ב) $x^{2} + x + c$
(ג) $x^{2} + x + 3$ ✓
(ד) $x^{2} + x + 9$
3.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 2$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 2)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 2 x - 1$ ✓
(ב) $x^{2} - 2 x + 1$
(ג) $x^{2} - 2 x + 2$
(ד) $x^{2} - 2 x$
4.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(0, 3)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + 4$
(ב) $2 x^{2} + 3$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + c$
5.נתון $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 6)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{3} + 2 x + 3$ ✓
(ב) $x^{3} + 2 x + 6$
(ג) $x^{3} + 2 x + c$
(ד) $x^{3} + 2 x$
6.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(5 x) d x$
(א)89
(ב)-90
(ג)91
(ד)90✓
7.חשבו: $\int 4 x^{4} d x$
(א) $\frac{4}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $x^{5} + c$
(ג) $\frac{4}{5} x^{5}$
(ד) $20 x^{5} + c$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2 x + 3) d x$
(א)9
(ב)10✓
(ג)-10
(ד)11
9.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(x) d x$
(א)8✓
(ב)7
(ג)9
(ד)-8
10.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 2]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
f(x) = 3x^{2}
(א)16
(ב)9
(ג)-8
(ד)8✓
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(2 x) d x$
(א)37
(ב)35
(ג)-36
(ד)36✓
12.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(7 x) d x$
(א)57
(ב)56✓
(ג)-56
(ד)55
13.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int x^{5} d x$
(א) $5 x^{4} + c$
(ב) $\frac{1}{6} x^{6}$
(ג) $\frac{1}{6} x^{6} + c$ ✓
(ד) $\frac{1}{5} x^{6} + c$
14.נתון $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 5)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{3} + 5$
(ב) $x^{3}$
(ג) $x^{3} + c$
(ד) $x^{3} + 4$ ✓
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(12 x^{2}) d x$
(א)32✓
(ב)33
(ג)31
(ד)-32

מפתח תשובות

14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
$x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
$x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
$2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
$x^{3} + 2x + 3$ — $f(x) = x^{3} + 2x + c$. מציבים $(1,6): 3 + c = 6, c = 3$. לכן $f(x) = x^{3} + 2x + 3$.
90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
$\frac{4}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{4}dx = 4 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{4}{5}x^{5} + c$.
10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
$\frac{1}{6}x^{6} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{5} dx = 1 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{6}x^{6} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$x^{3} + 4$ — $f(x) = x^{3} + c$. מציבים $(1,5): 1 + c = 5, c = 4$. לכן $f(x) = x^{3} + 4$.
32 — $F(x) = 4x^{3}. F(2) - F(0) = 32 - 0 = 32$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'