15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int (4 x^{3} + 3 x^{2}) d x$
(א) $\frac{4}{3} x^{4} + \frac{3}{2} x^{3} + c$
(ב) $2 x^{4} + 2 x^{3} + c$
(ג) $x^{4} + x^{3}$
(ד) $x^{4} + x^{3} + c$ ✓
2.נתון $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 10)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{3} + 2$ ✓
(ב) $x^{3} + 10$
(ג) $x^{3} + c$
(ד) $x^{3}$
3.חשבו: $\int 7 x^{2} d x$
(א) $\frac{7}{2} x^{3} + c$
(ב) $21 x^{3} + c$
(ג) $\frac{7}{3} x^{3}$
(ד) $\frac{7}{3} x^{3} + c$ ✓
4.חשבו: $\int 10 x^{2} d x$
(א) $\frac{10}{3} x^{3}$
(ב) $5 x^{3} + c$
(ג) $\frac{10}{3} x^{3} + c$ ✓
(ד) $30 x^{3} + c$
5.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(6 x^{2}) d x$
(א)55
(ב)54✓
(ג)53
(ד)-54
6.חשבו: $\int 6 x^{6} d x$
(א) $\frac{6}{7} x^{7}$
(ב) $\frac{6}{7} x^{7} + c$ ✓
(ג) $x^{7} + c$
(ד) $42 x^{7} + c$
7.חשבו: $\int 10 x d x$
(א) $10 x^{2} + c$
(ב) $20 x^{2} + c$
(ג) $5 x^{2} + c$ ✓
(ד) $5 x^{2}$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(x) d x$
(א)8✓
(ב)7
(ג)9
(ד)-8
9.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
f(x) = 3x^{2}
(א)27✓
(ב)54
(ג)28
(ד)-27
10.חשבו: $\int 4 x^{5} d x$
(א) $24 x^{6} + c$
(ב) $\frac{4}{5} x^{6} + c$
(ג) $\frac{2}{3} x^{6}$
(ד) $\frac{2}{3} x^{6} + c$ ✓
11.חשבו: $\int 2 x^{4} d x$
(א) $\frac{2}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $\frac{1}{2} x^{5} + c$
(ג) $\frac{2}{5} x^{5}$
(ד) $10 x^{5} + c$
12.חשבו: $\int 7 x^{3} d x$
(א) $28 x^{4} + c$
(ב) $\frac{7}{4} x^{4}$
(ג) $\frac{7}{4} x^{4} + c$ ✓
(ד) $\frac{7}{3} x^{4} + c$
13.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 5 x^{4} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{5}$
(ב) $20 x^{3} + c$
(ג) $x^{5} + c$ ✓
(ד) $5 x^{4} + c$
14.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 6 x^{2} d x$
(א)12x + c
(ב) $3 x^{3} + c$
(ג) $2 x^{3} + c$ ✓
(ד) $2 x^{3}$
15.חשבו: $\int 5 x^{3} d x$
(א) $\frac{5}{4} x^{4}$
(ב) $\frac{5}{4} x^{4} + c$ ✓
(ג) $20 x^{4} + c$
(ד) $\frac{5}{3} x^{4} + c$

מפתח תשובות

$x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$x^{3} + 2$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + c$. מציבים את הנקודה $(2,10): 8 + c = 10$, ולכן $c = 2$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + 2$.
$\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
$\frac{10}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{2}dx = 10 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{10}{3}x^{3} + c$.
54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
$\frac{6}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{6}dx = 6 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{6}{7}x^{7} + c$.
$5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
$\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
$\frac{2}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{4}dx = 2 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{2}{5}x^{5} + c$.
$\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
$x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
$2x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 6x^{2} dx = 6 \cdot x^{3}/3 + c = 2x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'