15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int x d x$
(א) $(\frac{3}{2}) x^{\frac{3}{2}} + c$
(ב) $(\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + c$
(ג) $(\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}}$
(ד) $(\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + c$ ✓
2.חשבו: $\int 14 x d x$
(א) $14 x^{2} + c$
(ב) $28 x^{2} + c$
(ג) $7 x^{2} + c$ ✓
(ד) $7 x^{2}$
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(9 x^{2}) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)23
(ד)-24
4.חשבו: $\int 9 x^{3} d x$
(א) $36 x^{4} + c$
(ב) $\frac{9}{4} x^{4}$
(ג) $3 x^{4} + c$
(ד) $\frac{9}{4} x^{4} + c$ ✓
5.בקטע [0, 2] הפונקציה $f (x) = 8$ נמצאת מעל $g (x) = 2 x$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 8g(x) = 2x
(א)16
(ב)12✓
(ג)24
(ד)-12
6.חשבו: $\int 9 x^{2} d x$
(א) $3 x^{3} + c$ ✓
(ב) $27 x^{3} + c$
(ג) $\frac{9}{2} x^{3} + c$
(ד) $3 x^{3}$
7.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 9 של $(x^{2}) d x$
(א)244
(ב)242
(ג)-243
(ד)243✓
8.חשבו: $\int 5 x^{5} d x$
(א) $\frac{5}{6} x^{6}$
(ב) $\frac{5}{6} x^{6} + c$ ✓
(ג) $30 x^{6} + c$
(ד) $x^{6} + c$
9.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 2 x^{3} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{4} + c$ ✓
(ב) $\frac{2}{3} x^{4} + c$
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{1}{2} x^{4}$
10.בקטע [0, 3] הפונקציה $f (x) = 2 x + 4$ נמצאת מעל $g (x) = 2$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 2x + 4g(x) = 2
(א)21
(ב)-15
(ג)15✓
(ד)30
11.הפונקציה $f (x) = - x$ שלילית בקטע [0, 4] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
f(x) = -x
(א)-8
(ב)16
(ג)8✓
(ד)10
12.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x^{2}) d x$
(א)18✓
(ב)-18
(ג)17
(ד)19
13.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int x^{3} d x$
(א) $\frac{1}{4} x^{4}$
(ב) $3 x^{2} + c$
(ג) $\frac{1}{3} x^{4} + c$
(ד) $\frac{1}{4} x^{4} + c$ ✓
14.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2 x + 3) d x$
(א)9
(ב)10✓
(ג)-10
(ד)11
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x) d x$
(א)9✓
(ב)8
(ג)10
(ד)-9

מפתח תשובות

$(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
$7x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 14xdx = 14 \cdot x^{2}/2 + c = 7x^{2} + c$.
24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = 8 - 2x$. הפונקציה הקדומה: $F(x) = 8x - x^2$. $F(2) - F(0) = (16 - 4) - 0 = 12$.
$3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
$\frac{5}{6}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{5}dx = 5 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{5}{6}x^{6} + c$.
$\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
15 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 4) - (2) = 2x + 2. \int$ מ-0 עד 3 של $(2x + 2)dx = 15$.
8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
$\frac{1}{4}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{3} dx = 1 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{4}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'