15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-2 עד 5 של $(3 x) d x$
(א) $- \frac{63}{2}$
(ב) $\frac{75}{2}$
(ג) $\frac{87}{2}$
(ד) $\frac{63}{2}$ ✓
2.בקטע [0, 2] הפונקציה $f (x) = 8$ נמצאת מעל $g (x) = 2 x$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 8g(x) = 2x
(א)16
(ב)12✓
(ג)24
(ד)-12
3.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 6 x + 2 ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $3 x^{2} + 2 x + c$ ✓
(ב)6 + c
(ג)6x + 2 + c
(ד) $3 x^{2} + 2 x$
4.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 5 x^{4} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{5}$
(ב) $20 x^{3} + c$
(ג) $x^{5} + c$ ✓
(ד) $5 x^{4} + c$
5.חשבו: $\int (x^{2} + \frac{1}{x}^{2}) d x$
(א) $x^{3} /3 - \frac{1}{x} + c$ ✓
(ב) $x^{3} /3 - \frac{1}{x}$
(ג) $3 x - \frac{2}{x}^{3} + c$
(ד) $x^{3} /3 + \frac{1}{x} + c$
6.חשבו: $\int 10 x^{2} d x$
(א) $\frac{10}{3} x^{3}$
(ב) $5 x^{3} + c$
(ג) $\frac{10}{3} x^{3} + c$ ✓
(ד) $30 x^{3} + c$
7.נתון $f^{'} (x) = 1$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 5)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)x
(ב)x + c
(ג)x + 5
(ד)x + 3✓
8.חשבו: $\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 2) d x$
(א) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 + c$
(ב) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x$
(ג) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x + c$ ✓
(ד) $\frac{4}{3} x^{4} - \frac{9}{2} x^{3} + 2 x + c$
9.חשבו: $\int 3 x d x$
(א) $3 x^{2} + c$
(ב) $\frac{3}{2} x^{2} + c$ ✓
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{3}{2} x^{2}$
10.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x) d x$
(א)9✓
(ב)8
(ג)10
(ד)-9
11.נתון $f^{'} (x) = x$ , והגרף עובר בנקודה $(4, 10)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $\frac{1}{2} x^{2} + c$
(ב) $\frac{1}{2} x^{2} + 2$ ✓
(ג) $\frac{1}{2} x^{2} + 10$
(ד) $\frac{1}{2} x^{2}$
12.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
f(x) = 3x^{2}
(א)27✓
(ב)54
(ג)28
(ד)-27
13.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2} + 2 x) d x$
(א)12✓
(ב)11
(ג)-12
(ד)13
14.חשבו: $\int 4 x^{4} d x$
(א) $\frac{4}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $x^{5} + c$
(ג) $\frac{4}{5} x^{5}$
(ד) $20 x^{5} + c$
15.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 0)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2} - 2$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + 2$

מפתח תשובות

$\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = 8 - 2x$. הפונקציה הקדומה: $F(x) = 8x - x^2$. $F(2) - F(0) = (16 - 4) - 0 = 12$.
$3x^{2} + 2x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 6x + 2$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 3x^{2} + 2x + c$. בדיקה: גזירת $3x^{2} + 2x$ נותנת 6x + 2.
$x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
$x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$ — $\int x^{2}dx = x^{3}/3, \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}$. סהכ: $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$.
$\frac{10}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{2}dx = 10 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{10}{3}x^{3} + c$.
x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
$x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
$\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
$\frac{4}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{4}dx = 4 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{4}{5}x^{5} + c$.
$2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'