∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
2. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
3. 4 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 4x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
4. $\frac{3}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{3}dx = 3 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{4}x^{4} + c$.
5. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
6. 9 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 3 של $(-2x)dx = -9$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-9| = 9$.
7. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (6x) - (2x) = 4x. \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx = 8$.
8. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
9. $5x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 15x^{2}dx = 15 \cdot x^{3}/3 + c = 5x^{3} + c$.
10. $x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
11. $\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
12. $3x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 6xdx = 6 \cdot x^{2}/2 + c = 3x^{2} + c$.
13. 15 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$.
14. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
15. $x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.