15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 2 x d x$
(א) $x^{2}$
(ב)2 + c
(ג) $x^{2} + c$ ✓
(ד) $2 x^{2} + c$
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(10 x) d x$
(א)45
(ב)50
(ג)-40
(ד)40✓
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3 x^{2}) d x$
(א)65
(ב)64✓
(ג)-64
(ד)63
4.חשבו: $\int 2 x^{2} d x$
(א) $x^{3} + c$
(ב) $\frac{2}{3} x^{3} + c$ ✓
(ג) $\frac{2}{3} x^{3}$
(ד) $6 x^{3} + c$
5.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 2 x + 1 ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{2} + x + c$ ✓
(ב)2x + 1 + c
(ג)2 + c
(ד) $x^{2} + x$
6.נתון $f^{'} (x) = x$ , והגרף עובר בנקודה $(4, 10)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $\frac{1}{2} x^{2} + c$
(ב) $\frac{1}{2} x^{2} + 2$ ✓
(ג) $\frac{1}{2} x^{2} + 10$
(ד) $\frac{1}{2} x^{2}$
7.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)6x + 4 + c
(ב) $x^{3} + 2 x^{2} + c$ ✓
(ג) $3 x^{2} + 4 x + c$
(ד) $x^{3} + 2 x^{2}$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(2 x) d x$
(א)37
(ב)35
(ג)-36
(ד)36✓
9.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x) d x$
(א)9✓
(ב)8
(ג)10
(ד)-9
10.חשבו: $\int 8 x^{4} d x$
(א) $\frac{8}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $2 x^{5} + c$
(ג) $40 x^{5} + c$
(ד) $\frac{8}{5} x^{5}$
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 9 של $(x^{2}) d x$
(א)244
(ב)242
(ג)-243
(ד)243✓
12.חשבו: $\int 18 x d x$
(א) $9 x^{2}$
(ב) $9 x^{2} + c$ ✓
(ג) $36 x^{2} + c$
(ד) $18 x^{2} + c$
13.חשבו: $\int 8 x^{3} d x$
(א) $32 x^{4} + c$
(ב) $2 x^{4}$
(ג) $2 x^{4} + c$ ✓
(ד) $\frac{8}{3} x^{4} + c$
14.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 1)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 4 x + 4$ ✓
(ב) $x^{2} - 4 x$
(ג) $x^{2} - 4 x + 1$
(ד) $x^{2} - 4 x + c$
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(4 x) d x$
(א)18
(ב)16✓
(ג)-16
(ד)20

מפתח תשובות

$x^{2} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x dx = 2 \cdot x^{2}/2 + c = x^{2} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
$\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.
$x^{2} + x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x + 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + x + c$. בדיקה: גזירת $x^{2} + x$ נותנת 2x + 1.
$\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
$x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.
36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
$\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
$9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
$2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
$x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'