15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 3 x^{2} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{3}{2} x^{3} + c$
(ב) $x^{3}$
(ג)6x + c
(ד) $x^{3} + c$ ✓
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 7 של $(2 x) d x$
(א)49✓
(ב)-49
(ג)50
(ד)48
3.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 0)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2} - 2$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + 2$
4.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(2 x + 1) d x$
(א)31
(ב)29
(ג)30✓
(ד)-30
5.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(4 x) d x$
(א)18
(ב)16✓
(ג)-16
(ד)20
6.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(7 x) d x$
(א)57
(ב)56✓
(ג)-56
(ד)55
7.חשבו: $\int 8 x^{3} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $32 x^{4} + c$
(ב) $2 x^{4}$
(ג) $2 x^{4} + c$ ✓
(ד) $\frac{8}{3} x^{4} + c$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 1 של $(9 x^{2}) d x$
(א)4
(ב)-3
(ג)3✓
(ד)2
9.חשבו: $\int 5 x d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $10 x^{2} + c$
(ב) $5 x^{2} + c$
(ג) $\frac{5}{2} x^{2} + c$ ✓
(ד) $\frac{5}{2} x^{2}$
10.חשבו: $\int 12 x^{4} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $60 x^{5} + c$
(ב) $3 x^{5} + c$
(ג) $\frac{12}{5} x^{5}$
(ד) $\frac{12}{5} x^{5} + c$ ✓
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
12.נתון $f^{'} (x) = 1$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 5)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)x
(ב)x + c
(ג)x + 5
(ד)x + 3✓
13.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2}) d x$
(א)9
(ב)8✓
(ג)-8
(ד)7
14.נתון $f^{'} (x) = 5$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 13)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)5x + 3✓
(ב)5x − 3
(ג)5x + 13
(ד)5x
15.חשבו: $\int 5 x^{3} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{5}{4} x^{4}$
(ב) $\frac{5}{4} x^{4} + c$ ✓
(ג) $20 x^{4} + c$
(ד) $\frac{5}{3} x^{4} + c$

מפתח תשובות

$x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
$2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
$2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
$\frac{5}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 5xdx = 5 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{5}{2}x^{2} + c$.
$\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
$\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'