15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int 9 x^{3} d x$
(א) $36 x^{4} + c$
(ב) $\frac{9}{4} x^{4}$
(ג) $3 x^{4} + c$
(ד) $\frac{9}{4} x^{4} + c$ ✓
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(9 x^{2}) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)23
(ד)-24
3.חשבו: $\int 3 x^{6} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{7} + c$
(ב) $21 x^{7} + c$
(ג) $\frac{3}{7} x^{7}$
(ד) $\frac{3}{7} x^{7} + c$ ✓
4.נתון $f^{'} (x) = 8 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 9)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $4 x^{2} + 5$ ✓
(ב) $4 x^{2}$
(ג) $4 x^{2} + c$
(ד) $4 x^{2} + 9$
5.חשבו: $\int 6 x^{5} d x$
(א) $\frac{6}{5} x^{6} + c$
(ב) $x^{6}$
(ג) $x^{6} + c$ ✓
(ד) $36 x^{6} + c$
6.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(7 x) d x$
(א)57
(ב)56✓
(ג)-56
(ד)55
7.חשבו: $\int 2 x^{8} d x$
(א) $\frac{1}{4} x^{9} + c$
(ב) $\frac{2}{9} x^{9} + c$ ✓
(ג) $18 x^{9} + c$
(ד) $\frac{2}{9} x^{9}$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
9.חשבו: $\int x^{7} d x$
(א) $\frac{1}{8} x^{8}$
(ב) $8 x^{8} + c$
(ג) $\frac{1}{8} x^{8} + c$ ✓
(ד) $\frac{1}{7} x^{8} + c$
10.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(6 x) d x$
(א)75✓
(ב)74
(ג)-75
(ד)76
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 4 של $(2 x) d x$
(א)17
(ב)16
(ג)15✓
(ד)-15
12.חשבו: $\int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x$
(א) $3 x^{3} - 4 x^{2} + x + c$
(ב) $2 x^{3} - 2 x^{2} + 1 + c$
(ג) $2 x^{3} - 2 x^{2} + x + c$ ✓
(ד) $2 x^{3} - 2 x^{2} + x$
13.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 4 של $(8 x) d x$
(א)-60
(ב)68
(ג)64
(ד)60✓
14.הפונקציה $f (x) = 2 x$ חיובית בקטע [1, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
f(x) = 2x
(א)8✓
(ב)-8
(ג)10
(ד)9
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-2 עד 7 של $(1) d x$
(א)5✓
(ב)-5
(ג)9
(ד)7

מפתח תשובות

$\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
$4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
$x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
$\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
$\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
15 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$.
$2x^{3} - 2x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (6x^{2} - 4x + 1)dx = 2x^{3} - 2x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
60 — $F(x) = 4x^{2}. F(4) - F(1) = 64 - 4 = 60$.
8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
5 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(7) - F(2) = 7 - 2 = 5$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'