15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int (x^{2} + x + 1) d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + c$ ✓
(ב) $\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + x + c$
(ג) $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$
(ד) $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 1 + c$
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(4 x^{3}) d x$
(א)16✓
(ב)15
(ג)17
(ד)-16
3.חשבו: $\int 10 x d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $10 x^{2} + c$
(ב) $20 x^{2} + c$
(ג) $5 x^{2} + c$ ✓
(ד) $5 x^{2}$
4.חשבו: $\int 16 x^{3} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $4 x^{4}$
(ב) $\frac{16}{3} x^{4} + c$
(ג) $4 x^{4} + c$ ✓
(ד) $64 x^{4} + c$
5.נתון $f^{'} (x) = 5$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 8)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)5x + 8
(ב)5x + 3✓
(ג)5x
(ד)5x + c
6.חשבו: $\int 2 x^{7} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{2}{7} x^{8} + c$
(ב) $\frac{1}{4} x^{8}$
(ג) $16 x^{8} + c$
(ד) $\frac{1}{4} x^{8} + c$ ✓
7.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 8 של $(x) d x$
(א)32✓
(ב)-32
(ג)33
(ד)31
8.חשבו: $\int 3 x^{4} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{3}{4} x^{5} + c$
(ב) $\frac{3}{5} x^{5}$
(ג) $\frac{3}{5} x^{5} + c$ ✓
(ד) $15 x^{5} + c$
9.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2}) d x$
(א)9
(ב)8✓
(ג)-8
(ד)7
10.חשבו: $\int 10 x^{2} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{10}{3} x^{3}$
(ב) $5 x^{3} + c$
(ג) $\frac{10}{3} x^{3} + c$ ✓
(ד) $30 x^{3} + c$
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
12.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(7 x) d x$
(א)57
(ב)56✓
(ג)-56
(ד)55
13.חשבו: $\int 21 x^{2} d x$ יש להציג את המשפחה הכללית של הקדומות עם קבוע אינטגרציה שרירותי.
(א) $\frac{21}{2} x^{3} + c$
(ב) $7 x^{3}$
(ג) $7 x^{3} + c$ ✓
(ד) $63 x^{3} + c$
14.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 2$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 2)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 2 x - 1$ ✓
(ב) $x^{2} - 2 x + 1$
(ג) $x^{2} - 2 x + 2$
(ד) $x^{2} - 2 x$
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x) d x$
(א)9✓
(ב)8
(ג)10
(ד)-9

מפתח תשובות

$\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (x^{2} + x + 1)dx = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
$5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
$4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
$\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
32 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
$\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
$\frac{10}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{2}dx = 10 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{10}{3}x^{3} + c$.
50 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
56 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
$7x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 21x^{2}dx = 21 \cdot x^{3}/3 + c = 7x^{3} + c$.
$x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'