∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $2x^{3} + 2$ — $f(x) = 2x^{3} + c$. מציבים $(1,4): 2 + c = 4, c = 2$. לכן $f(x) = 2x^{3} + 2$.
2. $\frac{5}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{2}dx = 5 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{5}{3}x^{3} + c$.
3. $\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.
4. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9.$ (הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
5. 49 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
6. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
7. $x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
8. 36 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
9. $-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
10. $\frac{6}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{6}dx = 6 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{6}{7}x^{7} + c$.
11. 36 — מוצאים קדומה לפי כלל האינטגרציה המתאים ומפשטים: $F(x) = 4x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
12. $\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
13. $x^{3} + x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,6): 2 + c = 6$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + x^{2} + 4$.
14. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
15. $5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.