15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int 2 x^{4} d x$
(א) $\frac{2}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $\frac{1}{2} x^{5} + c$
(ג) $\frac{2}{5} x^{5}$
(ד) $10 x^{5} + c$
2.חשבו: $\int 3 x^{6} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{7} + c$
(ב) $21 x^{7} + c$
(ג) $\frac{3}{7} x^{7}$
(ד) $\frac{3}{7} x^{7} + c$ ✓
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2 x + 3) d x$
(א)9
(ב)10✓
(ג)-10
(ד)11
4.הפונקציה $f (x) = - 6 x^{2}$ שלילית בקטע [0, 1] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
f(x) = -6x^{2}
(א)2✓
(ב)-2
(ג)3
(ד)4
5.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 1 ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)1 + c
(ב)2x + c
(ג)x + c✓
(ד)x
6.הפונקציה $f (x) = 3 x - 12$ שלילית בקטע [0, 4] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
f(x) = 3x - 12
(א)26
(ב)-24
(ג)24✓
(ד)48
7.נתון $f^{'} (x) = 5$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 13)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)5x + 3✓
(ב)5x − 3
(ג)5x + 13
(ד)5x
8.חשבו: $\int 16 x^{3} d x$
(א) $4 x^{4}$
(ב) $\frac{16}{3} x^{4} + c$
(ג) $4 x^{4} + c$ ✓
(ד) $64 x^{4} + c$
9.חשבו: $\int 6 x d x$
(א) $3 x^{2} + c$ ✓
(ב) $3 x^{2}$
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $12 x^{2} + c$
10.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(6 x - 2) d x$
(א)-20
(ב)21
(ג)20✓
(ד)22
11.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 10 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)10 + c
(ב)10x + c
(ג) $5 x^{2}$
(ד) $5 x^{2} + c$ ✓
12.חשבו: $\int 8 x^{3} d x$
(א) $32 x^{4} + c$
(ב) $2 x^{4}$
(ג) $2 x^{4} + c$ ✓
(ד) $\frac{8}{3} x^{4} + c$
13.בקטע [0, 2] הפונקציה $f (x) = 6 x$ נמצאת מעל $g (x) = 2 x$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 6xg(x) = 2x
(א)8✓
(ב)16
(ג)-8
(ד)12
14.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 1)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 4 x + 4$ ✓
(ב) $x^{2} - 4 x$
(ג) $x^{2} - 4 x + 1$
(ד) $x^{2} - 4 x + c$
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x^{2}) d x$
(א)18✓
(ב)-18
(ג)17
(ד)19

מפתח תשובות

$\frac{2}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{4}dx = 2 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{2}{5}x^{5} + c$.
$\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
2 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 1 של $(-6x^{2})dx = -2$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-2| = 2$.
x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
24 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3x - 12)dx = -24$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-24| = 24$.
5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
$4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
$3x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 6xdx = 6 \cdot x^{2}/2 + c = 3x^{2} + c$.
20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
$5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
$2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (6x) - (2x) = 4x. \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx = 8$.
$x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'