15 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 15 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.חשבו: $\int (9 x^{2} + 8 x - 3) d x$
(א) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 + c$
(ב) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + c$ ✓
(ג) $\frac{9}{2} x^{3} + 8 x^{2} - 3 x + c$
(ד) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x$
2.בקטע [0, 4] הפונקציה $f (x) = 2 x + 3$ נמצאת מעל $g (x) = 3$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 2x + 3g(x) = 3
(א)28
(ב)16✓
(ג)-16
(ד)32
3.בקטע [0, 2] הפונקציה $f (x) = 8$ נמצאת מעל $g (x) = 2 x$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
f(x) = 8g(x) = 2x
(א)16
(ב)12✓
(ג)24
(ד)-12
4.חשבו: $\int 21 x^{2} d x$
(א) $\frac{21}{2} x^{3} + c$
(ב) $7 x^{3}$
(ג) $7 x^{3} + c$ ✓
(ד) $63 x^{3} + c$
5.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(5 x) d x$
(א)89
(ב)-90
(ג)91
(ד)90✓
6.חשבו: $\int 18 x^{2} d x$
(א) $6 x^{3}$
(ב) $6 x^{3} + c$ ✓
(ג) $54 x^{3} + c$
(ד) $9 x^{3} + c$
7.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 3 x^{2} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{3}$
(ב) $3 x^{2} + c$
(ג) $x^{3} + c$ ✓
(ד)6x + c
8.חשבו: $\int 12 x^{4} d x$
(א) $60 x^{5} + c$
(ב) $3 x^{5} + c$
(ג) $\frac{12}{5} x^{5}$
(ד) $\frac{12}{5} x^{5} + c$ ✓
9.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 1 של $(4 x^{3}) d x$
(א)2
(ב)-1
(ג)0
(ד)1✓
10.חשבו: $\int (15 x^{2} - 1) d x$
(א) $\frac{15}{2} x^{3} - x + c$
(ב) $5 x^{3} - x + c$ ✓
(ג) $5 x^{3} - x$
(ד) $5 x^{3} - 1 + c$
11.הפונקציה $f (x) = - 3 x^{2}$ שלילית בקטע [0, 2] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
f(x) = -3x^{2}
(א)-8
(ב)10
(ג)16
(ד)8✓
12.חשבו: $\int 30 x^{2} d x$
(א) $10 x^{3}$
(ב) $15 x^{3} + c$
(ג) $90 x^{3} + c$
(ד) $10 x^{3} + c$ ✓
13.חשבו: $\int 9 x^{3} d x$
(א) $36 x^{4} + c$
(ב) $\frac{9}{4} x^{4}$
(ג) $3 x^{4} + c$
(ד) $\frac{9}{4} x^{4} + c$ ✓
14.הפונקציה $f (x) = 3 x - 12$ שלילית בקטע [0, 4] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
f(x) = 3x - 12
(א)26
(ב)-24
(ג)24✓
(ד)48
15.חשבו: $\int 20 x d x$
(א) $20 x^{2} + c$
(ב) $10 x^{2}$
(ג) $10 x^{2} + c$ ✓
(ד) $40 x^{2} + c$

מפתח תשובות

$3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = 8 - 2x$. הפונקציה הקדומה: $F(x) = 8x - x^2$. $F(2) - F(0) = (16 - 4) - 0 = 12$.
$7x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 21x^{2}dx = 21 \cdot x^{3}/3 + c = 7x^{3} + c$.
90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
$6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
$x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
$\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
$5x^{3} - x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (15x^{2} - 1)dx = 5x^{3} - x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(-3x^{2})dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
$10x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 30x^{2}dx = 30 \cdot x^{3}/3 + c = 10x^{3} + c$.
$\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
24 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3x - 12)dx = -24$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-24| = 24$.
$10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 15 שאלות · ~30 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 15 שאלות · ~30 דק'