תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

35 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 35 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-70 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~70 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 35 שאלות · ~75 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'

1.חשבו: $\int 6 x^{3} d x$
(א) $\frac{3}{2} x^{4}$
(ב) $2 x^{4} + c$
(ג) $\frac{3}{2} x^{4} + c$ ✓
(ד) $24 x^{4} + c$
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(x^{2} + 1) d x$
(א)11
(ב)-12
(ג)13
(ד)12✓
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(2 x + 1) d x$
(א)31
(ב)29
(ג)30✓
(ד)-30
4.חשבו: $\int 14 x d x$
(א) $14 x^{2} + c$
(ב) $28 x^{2} + c$
(ג) $7 x^{2} + c$ ✓
(ד) $7 x^{2}$
5.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 4 x^{3} d x$
(א) $12 x^{2} + c$
(ב) $x^{4} + c$ ✓
(ג) $x^{4}$
(ד) $\frac{4}{3} x^{4} + c$
6.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2}) d x$
(א)9
(ב)8✓
(ג)-8
(ד)7
7.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 1 של $(9 x^{2}) d x$
(א)4
(ב)-3
(ג)3✓
(ד)2
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(12 x^{2}) d x$
(א)32✓
(ב)33
(ג)31
(ד)-32
9.חשבו: $\int x d x$
(א) $(\frac{3}{2}) x^{\frac{3}{2}} + c$
(ב) $(\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + c$
(ג) $(\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}}$
(ד) $(\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + c$ ✓
10.חשבו: $\int 3 x^{6} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{7} + c$
(ב) $21 x^{7} + c$
(ג) $\frac{3}{7} x^{7}$
(ד) $\frac{3}{7} x^{7} + c$ ✓
11.חשבו: $\int 4 x^{4} d x$
(א) $\frac{4}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $x^{5} + c$
(ג) $\frac{4}{5} x^{5}$
(ד) $20 x^{5} + c$
12.חשבו: $\int 6 x^{5} d x$
(א) $\frac{6}{5} x^{6} + c$
(ב) $x^{6}$
(ג) $x^{6} + c$ ✓
(ד) $36 x^{6} + c$
13.חשבו: $\int 20 x^{4} d x$
(א) $100 x^{5} + c$
(ב) $4 x^{5}$
(ג) $4 x^{5} + c$ ✓
(ד) $5 x^{5} + c$
14.חשבו: $\int 9 x^{2} d x$
(א) $3 x^{3} + c$ ✓
(ב) $27 x^{3} + c$
(ג) $\frac{9}{2} x^{3} + c$
(ד) $3 x^{3}$
15.חשבו: $\int 18 x^{2} d x$
(א) $6 x^{3}$
(ב) $6 x^{3} + c$ ✓
(ג) $54 x^{3} + c$
(ד) $9 x^{3} + c$
16.חשבו: $\int (2 x - 5) d x$
(א) $x^{2} - 5 x + c$ ✓
(ב) $x^{2} - 5 + c$
(ג) $2 x^{2} - 5 x + c$
(ד) $x^{2} - 5 x$
17.נתון $f^{'} (x) = 8 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 9)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $4 x^{2} + 5$ ✓
(ב) $4 x^{2}$
(ג) $4 x^{2} + c$
(ד) $4 x^{2} + 9$
18.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(2 x - 3) d x$
(א)9
(ב)-10
(ג)11
(ד)10✓
19.חשבו: $\int 2 x^{9} d x$
(א) $\frac{1}{5} x^{10}$
(ב) $\frac{2}{9} x^{10} + c$
(ג) $20 x^{10} + c$
(ד) $\frac{1}{5} x^{10} + c$ ✓
20.חשבו: $\int (\frac{1}{x}^{3}) d x$
(א) $- \frac{1}{2 x ^{2}}$
(ב) $- \frac{1}{2 x ^{2}} + c$ ✓
(ג) $\frac{1}{2 x ^{2}} + c$
(ד) $- \frac{3}{x}^{4} + c$
21.חשבו: $\int 10 x^{3} d x$
(א) $40 x^{4} + c$
(ב) $\frac{5}{2} x^{4} + c$ ✓
(ג) $\frac{5}{2} x^{4}$
(ד) $\frac{10}{3} x^{4} + c$
22.חשבו: $\int (3 x^{2} + 2 x) d x$
(א) $2 x^{3} + 2 x^{2} + c$
(ב) $x^{3} + x^{2}$
(ג) $\frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2} + c$
(ד) $x^{3} + x^{2} + c$ ✓
23.חשבו: $\int 6 x^{4} d x$
(א) $\frac{6}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $\frac{3}{2} x^{5} + c$
(ג) $\frac{6}{5} x^{5}$
(ד) $30 x^{5} + c$
24.חשבו: $\int 3 x d x$
(א) $(\frac{3}{2}) x^{\frac{3}{2}} + c$
(ב) $2 x^{\frac{3}{2}} + c$ ✓
(ג) $2 x^{\frac{3}{2}}$
(ד) $3 x^{\frac{3}{2}} + c$
25.נתון $f^{'} (x) = 2 x$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 7)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} + c$
(ב) $x^{2} + 7$
(ג) $x^{2}$
(ד) $x^{2} + 3$ ✓
26.חשבו: $\int 2 x^{6} d x$
(א) $\frac{2}{7} x^{7} + c$ ✓
(ב) $14 x^{7} + c$
(ג) $\frac{2}{7} x^{7}$
(ד) $\frac{1}{3} x^{7} + c$
27.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x + 4) d x$
(א)20
(ב)-21
(ג)21✓
(ד)22
28.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-2 עד 5 של $(3 x) d x$
(א) $- \frac{63}{2}$
(ב) $\frac{75}{2}$
(ג) $\frac{87}{2}$
(ד) $\frac{63}{2}$ ✓
29.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
30.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 3 x^{2} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{3}$
(ב) $3 x^{2} + c$
(ג) $x^{3} + c$ ✓
(ד)6x + c
31.הפונקציה $f (x) = - 6 x^{2}$ שלילית בקטע [0, 1] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
y = -6x
(א)2✓
(ב)-2
(ג)3
(ד)4
32.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(5 x) d x$
(א)89
(ב)-90
(ג)91
(ד)90✓
33.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int x^{2} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{3} + c$
(ב) $\frac{1}{3} x^{3} + c$ ✓
(ג) $\frac{1}{3} x^{3}$
(ד)2x + c
34.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(3 x^{2} + 2 x) d x$
(א)-36
(ב)36✓
(ג)37
(ד)35
35.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 3x
(א)27✓
(ב)54
(ג)28
(ד)-27

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

מפתח תשובות ופתרונות

$\frac{3}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{3}dx = 6 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{2}x^{4} + c$.
12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
$7x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 14xdx = 14 \cdot x^{2}/2 + c = 7x^{2} + c$.
$x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
32 — $F(x) = 4x^{3}. F(2) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
$(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
$\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
$\frac{4}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{4}dx = 4 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{4}{5}x^{5} + c$.
$x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
$4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.
$3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
$6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
$x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
$\frac{1}{5}x^{10} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{9}dx = 2 \cdot x^{10}/10 + c = \frac{1}{5}x^{10} + c$.
$-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
$\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
$x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$\frac{6}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{4}dx = 6 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{6}{5}x^{5} + c$.
$2x^{\frac{3}{2}} + c$ — $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}. \int 3x^{\frac{1}{2}}dx = 3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c$.
$x^{2} + 3$ — $f(x) = x^{2} + c$. מציבים $(2,7): 4 + c = 7, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + 3$.
$\frac{2}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{6}dx = 2 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{2}{7}x^{7} + c$.
21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
$\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
$x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
2 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 1 של $(-6x^{2})dx = -2$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-2| = 2$.
90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
$\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)