תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
2. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
3. $3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
4. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 4 של $(x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. השטח $= F(4) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
5. $\frac{5}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{2}dx = 5 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{5}{3}x^{3} + c$.
6. $x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
7. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
8. $x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,5): 1 + c = 5$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 4$.
9. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
10. 10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
11. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
12. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
13. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
14. $x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
15. $\frac{14}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 14x^{2}dx = 14 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{14}{3}x^{3} + c$.
16. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
17. $\frac{1}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{5}dx = 2 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{3}x^{6} + c$.
18. $\frac{5}{6}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{5}dx = 5 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{5}{6}x^{6} + c$.
19. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
20. $\frac{1}{5}x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{4} dx = 1 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{1}{5}x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
21. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
22. $5x^{3} - x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (15x^{2} - 1)dx = 5x^{3} - x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
23. $2x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 6x^{2} dx = 6 \cdot x^{3}/3 + c = 2x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
24. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (4x^{2}) - (x^{2}) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
25. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
26. 15 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$.
27. $4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.
28. $\frac{3}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{3}dx = 6 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{2}x^{4} + c$.
29. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (6x) - (2x) = 4x. \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx = 8$.
30. $\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.
31. x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
32. $\frac{5}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 5xdx = 5 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{5}{2}x^{2} + c$.
33. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
34. $\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.
35. 8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)