∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
2. $\frac{10}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{2}dx = 10 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{10}{3}x^{3} + c$.
3. $2x^{\frac{3}{2}} + c$ — $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}. \int 3x^{\frac{1}{2}}dx = 3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c$.
4. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
5. $4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.
6. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
7. $10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
8. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
9. $9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
10. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
11. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
12. $\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
13. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
14. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
15. $\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.