🔢 תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $42$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{2\cdot 63}{3}=42$.
2. $39$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{3\cdot 26}{2}=39$.
3. $161$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=8+30=38$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+38)}{2}=161$.
4. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=1+(9-1)\cdot 7=1+56=57$.
5. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
6. $28$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{14}{1-\frac{1}{2}}=\frac{14}{\frac{1}{2}}=28$.
7. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(11-1)\cdot 3=8+30=38$.
8. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
9. $378$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=2+80=82$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(2+82)}{2}=378$.
10. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
11. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
12. $9$ — $S_n=\frac{n}{2}(2\cdot1+(n-1)\cdot1)=\frac{n(n+1)}{2}=45 \Rightarrow n(n+1)=90 \Rightarrow n^2+n-90=0$. לפי נוסחת השורשים: $n=\frac{-1\pm\sqrt{1+360}}{2}=\frac{-1\pm19}{2}$. הפתרון החיובי השלם: $n=9$. בדיקה: $S_9=\frac{9\cdot10}{2}=45$ ✓.
13. $127$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 127}{1}=127$.
14. $80$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סופית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{2(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{2\cdot(81-1)}{2}=\dfrac{2\cdot80}{2}=80$.
15. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.