🔢 תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=14+(9-1)\cdot 3=14+24=38$.
2. $80$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סופית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{2(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{2\cdot(81-1)}{2}=\dfrac{2\cdot80}{2}=80$.
3. $8$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{2+14}{2}=8$.
4. $41$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=16+(6-1)\cdot 5=16+25=41$.
5. $40$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=1$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{1\cdot(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{81-1}{2}=\dfrac{80}{2}=40$.
6. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
7. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
8. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $55=15+(11-1)d$, כלומר $10d=40$, ולכן $d=4$.
9. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
10. $378$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=2+80=82$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(2+82)}{2}=378$.
11. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
12. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
13. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
14. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
15. $\frac{25}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{1}{5}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$.