🔢 תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
2. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
3. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
4. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
5. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
6. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
7. הנדסית עם $q=2$ — היחס קבוע: $\frac{6}{3}=2$, סדרה הנדסית עם $q=2$.
8. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(6-1)\cdot 8=2+40=42$.
9. $26$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=3$: $S_3=\frac{2(3^3-1)}{3-1}=\frac{2(27-1)}{2}=\frac{2\cdot 26}{2}=26$. המסיחים השגויים: $27$ — שגיאה נפוצה של חישוב $q^n$ בלבד ללא חיסור $1$; $54$ — כפל שגוי של $a_1\cdot q^n=2\cdot 27$; $80$ — שימוש שגוי ב-$n=4$ במקום $n=3$.
10. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
11. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
12. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
13. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
14. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(7-1)\cdot 9=3+54=57$.
15. $90$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{30}{1-\frac{2}{3}}=\frac{30}{\frac{1}{3}}=90$.